5. Частотні характеристики цифрової системи

Відомо, що частотні характеристики цифрової і неперервної систем порівнювати можна тільки в діапазоні частот від 0 до половинної частоти дискретизації /T, де вони можуть бути подібними але не можуть для реальних систем точно співпадати між собою. Частотну передатну функцію W() цифрової системи одержують заміною в дискретній ПФ змінної z на Т за допомогою виразу:

z = exp(jT) = cos(ω∙T) + j∙sin(ω∙T). (5.1)

Тут враховано, що z=exp(sT) і що для переходу до частотної ПФ потрібна заміна змінної s на j. Для розрахунку частотних характеристик розімкненої частини заданої ЦС скористаємось знайденою раніше її дискретною передатною функцією

,

у якій замінимо змінну z на cos(ω∙T) + j∙sin(ω∙T). Результатом заміни буде комплексна частотна передатна функція W(). Комплексні вирази у чисельнику і знаменнику цієї функції представимо спочатку у комплексно-алгебраїчній формі

, (5.2)

де

Для подальших розрахунків представимо комплексні вирази чисельника і знаменника частотної ПФ в експоненціальній формі

(5.3)

де

,

,

При обчисленні величин ₁() і ₂() програмою MathCad можна скористатись функцією atan2(x,y) або angle(x,y) дійсних аргументів x і y, яка повертає повний кут в радіанах між х- віссю і лінією, що сполучає початок координат з точкою (x,jy) на площині комплексних чисел або з точкою (x, y) на площині дійсних чисел.

Амплітудно-частотну характеристику розімкненої ЦС визначимо з (5.3) як

A()=|W()|=M₁() / M₂(), (5.4)

а фазово-частотну характеристику як

()=arg W(j)=₁() - ₂(). (5.5)

Подібним до описаного способом, виходячи з ПФ Φ(z), можна розрахувати частотні характеристики замкненої цифрової системи, але простіше це зробити за допомогою формул

, (5.6)

, (5.7)

для розрахунку частотних характеристик замкненої системи через частотні характеристики розімкненої системи, оскільки ці формули, справедливі для неперервних систем, залишаються справедливими і для цифрових систем.

У курсовій роботі розрахуйте і побудуйте графіки АЧХ і ФЧХ розімкненої і замкненої ЦС в діапазоні частот від 0 до _д/2=/T, де _д=2/T – частота дискретизації. При виборі розрахункових частот  можна орієнтуватись на значення =[0, 1, 5, 10, (1/T₁), (1/T₂), _д/2, ] та інші. Звичайно не всі зазначені та інші частоти можуть бути використані для побудови кожного графіка, оскільки потрібно зобразити ту частину характеристики, з якої зручно і наглядно визначаються необхідні параметри системи. Наприклад, графік АЧХ повинен бути зручним для визначення параметрів _з і А, а графік ФЧХ – для визначення ∆ і _.З графіків АЧХ і ФЧХ розімкненої системи визначте частоту зрізу _з, частоту _ і відповідно запас стійкості з фази  і запас стійкості з амплітуди A. Порівняйте одержані запаси стійкості з відповідними параметрами в завданні на курсову роботу. З графіка АЧХ замкненої системи визначте ширину ефективного діапазону частот з рівнем значимості 0,707.

Перевірте правильність виконаних розрахунків частотних характеристик цифрової системи за допомогою кафедральної учбової програми ChastHarCF.