Передатну функцію замкненої цифрової системи знайдемо по аналогії з передатною функцією неперервної системи з виразу

Ф(z) = W(z)/[1+W(z)]. (2.3)

Підставивши сюди вираз для W(z), одержимо Ф(z) у вигляді

, (7.5)

де _i=d_i, α_i=(c_i+d_i), i=0,1,2,3.

Результатами цього розділу курсової роботи повинні бути структурна схема моделі цифрової системи і вирази для передатних функцій W(z) і Ф(z) у вигляді відношення многочленів від змінної z з і визначеними числовими значеннями коефіцієнтів цих многочленів.

3. Визначення стану стійкості цифрової системи

Цифрова система (ЦС) визначається своєю z-передатною функцією, яка у попередньому розділі КР одержана у такому загальному вигляді:

. (3.1)

Необхідна і достатня умова стійкості ЦС вимагає, щоб усі полюси передатної функції системи z_i, i=1,2,…n, де n – порядок ЦС, знаходились в середині круга комплексної площини Z з радіусом круга R=1, тобто, щоб модулі усіх коренів знаменника передатної функції були меншими одиниці. Значення z_i=1 відповідає границі стійкості системи. Полюси передатної функції ЦС – це корені її характеристичного рівняння α(z)= 0, де α(z) – знаменник ПФ Ф(z) замкненої системи.

У цьому розділі курсової роботи для визначення стану стійкості ЦС знайдіть корені її характеристичного рівняння

α(z)=0, (3.2)

визначте їх модулі і впевніться у тому, що вони менші одиниці. Це свідчитиме про стійкість цифрової системи. Якщо попередні перетворення виконані правильно і правильно розв’язане характеристичне рівняння, то умова стійкості цифрової системи як дискретного аналога стійкої неперервної системи буде виконана.

4. Дослідження перехідного процесу цифрової системи

Якщо вхідну дію цифрової системи позначити як x(nТ), а вихідну як y(nТ), то передатну функцію ЦС можна записати у такому загальному вигляді

Φ(z) =Y(z)/X(z)=B(z)/A(z), (4.1)

де B(z) і A(z) – многочлени відповідно чисельника і знаменника ПФ,

X(z) i Y(z) – z-зображення відповідно вхідної і вихідної дій.

З (4.1) одержуємо рівняння:

A(z)∙Y(z) = B(z)∙X(z). (4.2)

Раніше ПФ заданої системи одержана у такому загальному вигляді:

. (4.3)

Поділивши одержаний вираз на старший член знаменника (₀∙z³), представимо передатну функціюΦ(z) в такій формі

. (4.4)

Підставивши з (9.4) B(z) і A(z) в (9.2), одержимо

. (4.5)

Перейдемо тепер від зображень X(z) i Y(z) до оригіналів x(nT) i y(nT). При цьому зважимо на те, що множних z^-k відповідає запізненню оригінала на k інтервалів дискретизації Т. В результаті одержимо різницеве рівняння системи у вигляді

. (4.6)

Рівняння (4.6) доповнюється нульовими початковими умовами:

y(-T)=0, y(-2T)=0, y(-3T)=0.

Дискретна вхідна дія

x(nT)=0 при n<0.

Різницеве рівняння дає можливість розрахувати значення вихідного сигналу y(nТ) в дискретні моменти часу nТ при відомих значеннях вхідного сигналу x(nT) в дискретні моменти nТ. Оскільки при x(nT)=1(nT) вихідна дія y(nT)=h(nT), рівняння (4.6) можна переписати у пристосованому для розрахунку перехідної характеристики вигляді

. (4.7)

Різницеве рівняння як рекурентне відношення між попереднім і наступним значеннями вихідної величини є досить зручною математичною моделлю ЦС. Воно дозволяє розрахувати часові і частотні характеристики ЦС, подаючи потрібний для тієї чи іншої характеристики вхідний сигнал x(nТ) і послідовно обчислюючи значення y(nТ).

У даному розділі КР потрібно одержати різницеве рівняння заданої системи у вигляді (4.7) з розрахованими коефіцієнтами a_i, b_j (i=1,2,3; j=0,1,2,3), які визначаються через параметри системи k, T₁, T₂ та інтервал дискретизації T, рекомендації для вибору якого були дані раніше. Розв’яжіть одержане різницеве рівняння на ПЕОМ за допомогою будь-якого математичного пакету програм. Програмою MathCad розв'язок рівняння (4.7) виконується таким обчислювальним фрагментом:

З результатів розрахунку h(nT) визначте (з останнього входження процесу в 5-процентний коридор відносно усталеного значення) практичну тривалість перехідного процесу , визначте також величину перерегулювання % і порівняйте їх з заданими значеннями в завданні на курсову роботу.

Для перевірки правильності розрахунку перехідної характеристики скористайтесь кафедральною учбовою програмою PerHarCS.