Замечательные пределы

152. Используя замечательные пределы найти предельные значения следующих выражений

;

153. Используя второй замечательный предел найти предельные значения следующих выражений

153. Вычислить указанный предел

153. Вычислить указанный предел 1) ;

Дифференцирование. Определения. Основные правила.

153. Вычислить приращение функции в точке

153. 1)Используя определение производной функции и соответствующие

замечательные пределы вычислить производные данных функций

:

2)Написать уравнение касательной и нормальной прямой к функции

в точке :

3. Найти точки пересечения полученных касательных с осями координат.

158.

По данному графику функции написать приближённо уравнения касательных к графику в точках заданных координатами .

159. Найти угол между касательными проведенными в точках

к графику функции

160. Найти угол между графиками функций и осью ОХ в указанных точках

161. Найти острый угол между графиками функций в точке

их пересечения

162. . По оси движется точка, абсцисса которой с течением

времени изменяется по закону +2. Определим абсциссу точки и её

скорость и ускорение в моменты времени: . Определить

моменты времени, когда усилие действующее на точку равно: 1) нулю,

2) максимально.

163. Пусть материальная точка движется вдоль оси ОХ по закону , где

- время:

А. Вычислить среднюю скорость за промежуток времени .

В.вычислить мгновенную скорость точки в моменты времени

164. Найти координаты материальных точек, движущихся по закону

, в момент времени когда

их скорости совпадают.

165. Вычислить производные функций

166. Вычислить производные функций

167. Вычислить производные функций

₁68. Используя калькулятор, вычислить производные функции в точке

169. Найти функцию по заданной производной. Сделать проверку

170. Доказать, что данная функция:

обращает соответствующее уравнение в тождество:

171. Найти вторые производные заданных функций

172. Доказать, что функция превращает уравнение

в тождество.

Функция от функции

173. Применив цепное правило вычислить производные функций

;

;

23)

174. Используя калькулятор, вычислить производные функций в заданной точке

175. Вычислить угол между касательными к функции в точках.

.

158.Используя равенства

доказать формулы

Логарифмическое дифференцирование

176. Вычислить производные заданных функций

Формулы неявного дифференцирования

177. Доказать, что данные формулы задают одну и туже кривую

линию

178. Применяя правило неявного дифференцирования, вычислить

производные от функций заданных неявно (уравнениями)

179. Найти первую и вторую производную функции заданной

неявно (уравнениями)

;

179. Найти первую и вторую производную функции заданной

неявно (уравнениями)

;

Формулы параметрического дифференцирования

179. Вычислить и записать в параметрическом виде производные от

функции заданной в параметрическом виде

179. Вычислить и записать в параметрическом виде первую и вторую производные

и от функций заданных в параметрическом виде

4)

179. Написать уравнение касательной и нормали к кривым заданным

неявно (уравнениями) в точке

179. Написать уравнение касательной и нормали к кривым заданным

параметрическими уравнениями

Дифференциал функции

185. Используя таблицу найти дифференциалы следующих функций

186. Изобразить геометрически приращение функции и дифференциал функции

при заданных . Оценить погрешность по графику

187. Получить приближённые формулы справедливых для малых

188. 1) Используя формулу линейного приближения функции , оценить максимальную погрешность при вычислении значения выражения , при ,если аргумент задан приближённо .

2. Используя формулу линейного приближения функции , оценить максимальную погрешность при вычислении значения выражения ,

при ,если аргумент задан приближённо .

189.Вычислить значение данного выражения двумя способами: а) используя калькулятор и в) используя формулу линейного приближения функции .

1) (взять ) 3) (взять )

2) (взять ); 4) (взять ; ;

).

190. Приближенно измеренный радиус круга оказался равным м.

Используя формулу линейного приближения , оценить какова будет максимальная ошибка при вычислении

1) площади круга, 2) длины окружности.

191. Приближенно измеренный радиус шара оказался равным 1 м.

используя формулу линейного приближения , оценить какова будет

максимальная ошибка при вычислении площади поверхности ( )

этого шара. Для расчётов взять .

192. Приближенно измеренное ребро куба оказался равным м. Используя формулу линейного приближения, оценить какова будет максимальная ошибка при вычислении объёма куба и площади поверхности куба.

Правило Лопиталя

192. Записать формулу Лагранжа (о среднем в дифференцировании) для функций

194. Вычислить указанные пределы

195. Вычислить указанные пределы

196 . Написать уравнения горизонтальных асимптот

197. Написать уравнения горизонтальных и вертикальных асимптот и дать эскиз

графика функции

Приложение дифференцирования к задачам геометрии и механики

198. Найти острый угол между касательными прямыми к параболе проведёнными в точках графика .

199. Найти точку пересечения касательных прямых проведенных к параболе в точках .

200. Найти уравнение касательной прямой, проведённой к параболе ,

параллельной к прямой .

198. Найти уравнение касательной прямой, проведённой к параболе ,

перпендикулярной к прямой .

198. Найти расстояние от точки до касательной прямой, проведённой

к параболе в точке касания .

198. Найти угол между графиками функций

в точке их пересечения.

198. Под каким углом пересекают ось ОХ синусоиды:

в точках:

198. Под каким углом, и в какой точке касательная к кривой , проведённая в точке пересекает ось ОХ

К какому классу монотонных функций принадлежит производная функции.Функция представлена на графике.

207.

К какому классу монотонных функций принадлежит производная функции. Функция представлена на графике.

208. Дать эскиз графика любой функции заданной на интервале , для которой

208. Изобразить на графике любую пару дифференцируемых функций ,

для которых

Cколько таких пар функций существует?

208. Секущая графика параболы проходит через точку параллельно касательной, проведённой к параболе в точке . Найти

точку пересечения секущей и параболы.

208. Материальная точка движется по параболе так, что скорость изменения ординаты . Найти мгновенную скорость изменения абсциссы в точках .

209. Найти на гиперболе точку, в которой мгновенная скорость

1. ординаты в два раза больше скорости абсциссы ;

2. ординаты равна скорости абсциссы ;

3. ординаты в два раза меньше скорости абсциссы ;

208. Материальная точка движется по эллипсу так, что скорость изменения абсциссы .. Найти мгновенную скорость изменения ординаты в .

209. Материальная точка движется вдоль оси ОХ по закону .

Найти моменты времени, в которые

1. скорость точки равна нулю;

2. сила действующая на точку равна нулю;

3. точка меняет направление движения;

определить направление движения в моменты времени , .