Колебания валов и осей.

Валы оси с насаженными деталями под действием периодически меняющихся сил совершают вынуж­денные колебания. Крутильные колебания валов и изгибных валов и осей — одна из причин нарушения нормального действия передаточных механизмов. Эти колебания особенно опасны в резонансной зоне, когда частоты собственных и вынужденных колебаний совпадают.

Рассмотрим вращение вала с насаженным на него диском (рис. 22.18, а). Под действием силы тяжести G диска (или другой постоянной силы) вал прогнется на величину 5, вследствие чего при вращении с угловой скоростью ю возникает центробежная сила инерции F_H = m_G( ² , где m_G — масса диска (массу вала обычно не учитывают). Сила F_n вызовет дополнительный прогиб вала на величину . Общий прогиб вала с насаженным посредине диском

где с = 48ЕJ·l³ - коэффициент жесткости вала при изгибе. Подста­вив в формулу (20.2l) значения F_и и G = m_G·g, получим

Когда на вал насажено зубчатое колесо, то кроме силы тяжести на вал действуют силы в зацеплении и общий прогиб показывается равным

Из формул (22.22), (22.23) следует, что при стремлении ² к c/m_G прогиб 8с резко возрастает. Практически это означает, что в случае равенства

прогиб вала имеет хотя и конечное, но относительно большое значение, что может привести к его разрушению.

Угловая скорость w_кр1, определяемая по условию (22.24), называется первой критической угловой скоростью вала или первой собственной частотой вала. Вращение вала со скоростью w_кр1 ве­дет к резонансным явлениям, следствие которых - чрезмерное увеличение прогиба вала (амплитуда колебаний) и его разрушение. После того как угловая скорость вала со становится больше сw_кр1, прогибы уменьшаются (рис. 22.18,6); чем быстрее осущест­вляется переход через критическую скорость, тем безопаснее условия работы вала.

Для валиков малых диаметров, широко применяемых в точных механизмах, коэффициенты жесткости с имеют относительно небольшие значения, поэтому критическая угловая скорость часто находится в диапазоне рабочих угловых скоростей.

При уточненных расчетах критической угловой скорости массу вала m_в учитывают, применяя метод Рэлея [23]. Тогда выражение для _кр1 примет вид

Если зубчатое колесо насажено на вал не посредине, то поворот сечения под колесом при изгибе приводит к возникнове­нию гироскопического изгибающего момента» Пренебрежение этим моментом приводит к снижению расчетного значения критической угловой скорости.

Реальная колеблющаяся механическая система имеет бесконеч­ное число собственных частот и критических угловых скоростей. Но влияние высших частот w колебания быстро уменьшается, поэтому при практических расчетах рассматривают лишь три первые собственные частоты. Рабочими диапазонами для вала являются следующие угловые скорости :

где _кр2 и _кр3—соответственно вторая и третья критические скорости. Первая критическая скорость определяется по формуле (22.24); значение второй и третьей критических скоростей чаще всего получают не из аналитического расчета, а из эксперимента. На значение первой критической скорости влияют тип опор и изгибающая нагрузка F. Учесть это влияние можно с помощью номограммы (рис. 22.19), которая построена для стальных валов

и связывает критическую частоту вращения n_кр = 30 _кр1/ с рас­стоянием l между опорами (или с вылетом l консоли), силой F, изгибающей вал, и диаметром d вала (в качестве параметра d для ступенчатого вала принимают расчетный диаметр гладкого вала, эквивалентный в отношении изгибной жесткости реальному валу). На шкале 1 отложены значения п_кр для вала с подшип­никами, не имеющими возможности самоустановки, на шкале 2 - для вала на самоустанавливающихся или очень коротких подшипниках. На шкале 3 отложены значения п_кр для консольного вала. С помощью номограммы можно по любым трем заданным параметрам найти значение четвертой величины. Рассмотрим использование номограмм на примерах.

Пример 22.6. С помощью номограммы рис. 22.19 найти критическую частоту вращения вала, на консоль которого посажено зубчатое колесо. Исходные данные: d = 2,8 мм; l = 14 мм; F = 20 H.

Решение. Соединяем прямой линией точки d = 2,8 на шкале 3 с точкой F=20 на шкале 5. Эта линия пересекается (см. рис. 22.19) с вертикальной прямой 4 в точке А. Затем проводим прямую через точки А и l =14 (шкала 5 до пересечения со шкалой 3; точке пересечения соответствует значение критической частоты n_кр = 6500 об/мин.

Пример 22.7. Найти критическую частоту вращения для вала на двух опорах с насаженным посредине шкивом круглоременной передачи. Исходные данные: d = 2,8 мм; l = 35 мм; F = 20 H.

Решение. Прямая от точки d = 2,8 (шкала 3) до точки F = 20 (шкала 5) та же, что и в предыдущем примере. Через точку А и точку l = 35 на шкале 5 проводим прямую до пересечения со шкалой 3, затем в этой точке восстанавливаем перпендикуляр к линии шкалы 3. Если опоры не самоустанавливаются, то по шкале 1 считываем значение n_кр =12000 об/мин. Для самоустанав­ливающихся опор на шкале 2 имеем n_кр = 6000 об/мин.

Критические скорости при крутильных колебаниях валов - рассчитывают аналогично. Значение низшей критической скорости в. первом приближении

где с_к - коэффициент крутильной жесткости всего вала, определяе­мый из формул (22.17) и (22.18):

Js - момент инерции (динамический) вала с насаженными на него деталями.

Формула (22.25) перепишется в виде

если принять с_к — в Н·мм/рад, G — в МПа, J_х—в кг·мм².