4. Жесткость и колебания валов и осей

Работа механических систем автоматики и ЭВМ часто лимити­руется условиями достаточной жесткости их деталей. Нагрузки, действующие на валы, вызывают их изгиб и закручивание. В тех случаях, когда жесткость вала недостаточна и деформации достигают недопустимо больших значений, резко ухудшаются условия работы передаточных механизмов, например зубчатых и червячных передач.

Жесткость валов и осей.

Выясним, какая из двух основных деформаций вала - изгиб или кручение, оказывает наибольшее влияние на общую жесткость системы. С этой целью рассмотрим вал 1 длиной l с насаженным на него зубчатым колесом 2

(рис. 22.14). Вал скручивается моментом T=F·r_w и изгибается силой F. Считая, что момент Т передается валом от левого торца к зубчатому колесу, найдем угол поворота сечения по формуле (9.8):

где G - модуль упругости второго рода; J_p = nd⁴/32 — полярный момент инерции сечения; d-диаметр вала.

Прогиб вала под колесом, рав­ный перемещению точки А при изгибе, определяется зависимостью (см. § 8.7)

где параметр к зависит от рас­положения колеса 2 относительно опор 3; Е-модуль упругости первого рода; J=nd²/64-осевой момент инерции сечения вала.

Из формул. (22.15) и (22.16) следует, что от­ношение перемещений точки А, которые выз­ваны деформациями кру­чения и изгиба,

Для стального вала от­ношение E/G 2,5; если колесо посажено посреди­не, то k = 48 и = 3...3O, так как r²l₁/(2l³)~0,l - l. В других случаях пара­метр также существен­но превышает единицу; поэтому при проектирова­нии точных механизмов главная задача - обеспе­чение крутильной жест­кости.

При проверочном рас­чете крутильной жестко­сти ступенчатого вала деформации отдельных ступеней складываются. Общий угол (22.17)

(22.17)

где lj—длина участка вала диаметром dj передающего крутящий момент Т_j:

m - число таких участков.

Полученный угол сравнивают с допускаемым значением. Угол cp_s, например, определяет размер упругого мертвого хода _м и ограничивается его допускаемым значением [ _м].

В местах резкого изменения диаметра вала часть его материала на большем диаметре не участвует в передаче крутящего момента. Поэтому ступенчатый вал имеет меньшую жесткость, чем это следует из формулы (22.17). Чтобы рассчитать реальный угол _s, в формулу (22.17) вместо /j нужно подставить эффективную длину (рис. 22.15):

где lj—длина участка вала диаметром dj передающего крутящий момент Т_j:

m - число таких участков. Здесь знак плюс относится к меньшему диаметру, а знак минус - к большему; для стальных валов параметр А/ определяют по кривым рис. 22.15

Полученный угол _£ сравнивают с допускаемым значением. Угол cp_s, например, определяет размер упругого мертвого хода _м и ограничивается его допускаемым значением [ _м].

В местах резкого изменения диаметра вала часть его материала на большем диаметре не участвует в передаче крутящего момента. Поэтому ступенчатый вал имеет меньшую жесткость, чем это следует из формулы (22.17). Чтобы рассчитать реальный угол _s, в формулу (22.17) вместо /j нужно подставить эффективную длину (рис. 22.15):

здесь знак плюс относится к меньшему диаметру, а знак минус - к большему; для стальных валов параметр А/ определяют по кривым рис. 22.15.

Прогибы валиков и осей от действующих сил вычисля­ют по методике, изложенной в § 8.7. Например, для вала, изображенного на рис. 22.16, прогиб в середине пролета

Предельно допустимая де­формация зависит от условий работы насаженных на вал или ось деталей (зубчатых колес, подшипников и т. д.). Хотя общеустановленных или расчетных норм допустимых деформаций нет, в машино- и приборостроении наибольшее значение прогиба часто принимают [ ] = 0,003

(l - расстояние между опорами).

Прогиб вала или оси приводит к увеличению межосевого расстояния зубчатых передач, что вызывает нарушение их нор­мального действия. Например, для цилиндрической зубчатой передачи прогиб вала снижает коэффициент перекрытия

где _{15 2} - прогибы под шестерней и колесом; т — модуль передачи;

_w - угол зацепления.

Рассчитав действительный прогиб одного вала по формуле (22.19а), можно из равенства (22.20) определить допускаемый прогиб для другого вала из условия ограничения параметра :

Допускаемое изменение коэффициента перекрытия ориентировочно принимается [ ] = - (1,05... 1,15), ( - расчетный коэффициент перекрытия).

Пример 22.5. Рассчитать упругий (свободный) мертвый ход зубчатой передачи 1-2 (рис. 22.17) привода указателя 3 шкалы 4, обусловленный деформацией гладкого валика 11 диаметром d. Известны следующие параметры передаточного механизма: r_w2, /, /_к, угол _w (см. рис. 22.17); к ведомому валику 11 приложен момент сил сопротивления Т_с; колесо 2 расположено посредине между опорами.

Решение. Общий упругий мертвый ход является следствием закручивания валика моментом Т_с и изгиба валика - балки на двух шарнирных опорах—сила­ми, действующими в зацеплении колес.

Упругий мертвый ход _мк от закручивания валика 11 равен удвоенному углу поворота сечения под действием момента T_с, так как угол поворота валика при реверсе (изменении направления вращения) в 2 раза больше , рад [см. формулу (9.8)]:

где F_t=T_c/r_w2-—окружная сила в зацеплении; G—модуль упругости при сдвиге.

Изгиб валика 11—плоский поперечный, его вызывает нормальная сила F_n; плоскость изгиба параллельна плоскости зацепления. Подставив в формулу (22.19а) ^=0,5/, F=F_n = FJcosa_w,, J=nd⁴ /64, получим прогиб под колесом:

где Е— модуль упругости при растяжении-сжатии.

Для восстановления контакта зубьев не­обходимо смещение зуба вдоль линии зацеп­ления на величину 5, т. е. поворот на угол

_и (рад):

С учетом реверса мертвый ход, вызыва­емый изгибом валика 11, =2 _и. Общий упругий мертвый ход (рад) из-за дефор­маций валика //: