Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Усольцев А.А. Частотное управление асинхронными двигателями.pdf
Скачиваний:
169
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
1.98 Mб
Скачать

10

Потокосцепления электрической машины

1.1.2. Потокосцепления электрической машины

Если пренебречь насыщением магнитопровода АД, то магнитные потоки, сцепляющиеся с его обмотками, будут пропорциональны соответствующим МДС. Рассмотрим основные соотношения между этими величинами. Допустим, что статор и ротор трехфазного АД симметричны, параметры обмотки ротора приведены к обмотке статора и рабочий зазор машины равномерный. Схематически эти обмотки показаны на рисунке 1.4.

Рис. 1.4. Магнитная связь обмоток статора и ротора АД

С обмоткой фазы a статора сцепляются магнитные потоки, создаваемые как ею самой, так и всеми остальными обмотками. Часть магнитного потока, создаваемого обмоткой сцепляется только с её собственными витками и называется потоком рассеяния. Другая часть, помимо собственных витков охватывает также витки других обмоток и называется главным или основ-

ным магнитным потоком. Индуктивность L1σ ,

связывающая поток рассеяния обмотки с протекающим в ней током, называется индуктивностью рассеяния, а индуктивность lm , опреде-

ляющая потокосцепление с основным потоком – взаимной индуктивностью или индуктивностью основного потока. При отсутствии токов в обмотках ротора можно представить потокосцепление фазы a в виде

ψ11a = L1σi1a + lmi1a + M abi1b + M aci1c

(1.8)

где Mab и Mac – взаимные индуктивности статорных обмоток.

Если две обмотки статора АД имеют одинаковые параметры, то магнитный поток, создаваемый током второй обмоткой и сцепляющийся с витками первой, будет полностью идентичен потоку, создаваемому первой обмоткой и сцепляющимся с витками второй, при условии равенства токов и совпадения расположения осей двух обмоток в пространстве. Очевидно, что при этих условиях картина магнитного поля будет одинаковой независимо от того, по какой из обмоток про-

текает ток, т.е. индуктивность основного потока статорных обмоток lm будет

равна их взаимной индуктивности при условии совмещения геометрических осей.

Смещение осей обмоток в пространстве на угол δ вызовет изменение их взаимной индуктивности пропорциональное косинусу угла сдвига, т.е. M = M 0 cos δ = lm cos δ, где M0 = lm – взаимная индуктивность обмоток при со-

вмещении их осей. С учетом выражения (п.2.2)* и того, что δb = 2π/ 3 и δc = −2π/ 3 , выражение (1.8) можно преобразовать к виду

ψ11a = L1σi1a +lmi1a +lm cos2π/ 3 i1b +lm cos(2π/ 3) i1c = i1a (L1σ +3lm / 2)= (1.9)

= i1a (L1σ + Lm )= i1a L1

* См. приложение 2

Потокосцепления электрической машины

11

Индуктивность L1 = L1σ + Lm соответствует полной индуктивности статорной обмотки, включающей ее индуктивность от потока рассеяния L1σ , индуктивность от части основного магнитного потока, созданного самой обмоткой lm , и индук-

тивность от части основного потока, созданной двумя другими обмотками статора lm / 2 . Таким образом, полная индуктивность обмотки статора от основного

магнитного потока Lm

в 3/2 раза больше ее индуктивности lm , рассчитанной

при отсутствии токов в других обмотках.*

 

В силу симметрии статора, для других обмоток можно записать аналогичные

выражения – ψ11b = i1b L1

и ψ11c = i1c L1 , а затем объединить фазные проекции в

обобщённый вектор потокосцепления статора при отсутствии токов ротора –

ψ11 = 2 (ψ11a + ψ11ba + ψ11ca2 )= 2 L1 (i1a +i1ba + i1ca2 )= L1i1

(1.10)

3

3

 

Наличие токов в обмотках ротора приведет к появлению дополнительных составляющих потокосцеплений обмоток статора. Если ось фазы a ротора смещена в пространстве на некоторый угол γ (см. рис. 1.4), то взаимные индуктивности

обмоток ротора и фазы a статора можно определить через соответствующие углы, образуемые их осями, в виде –

M aa = M0a cos γ; Mba = M 0b cos(γ + 2π/ 3); Mca = M0c cos(γ − 2π/ 3)

где M0a , M0b , M0c – взаимные индуктивности обмоток при γ = 0 . Но взаимная индуктивность обмоток статора и ротора при нулевом смещении осей равна lm ,

т.к. параметры обмоток ротора приведены к статорным и можно считать, что при совпадении их осей картина магнитного поля будет такой же, как при совпадении осей статорных обмоток. Поэтому M0a =M0b =M0c = M0 = lm и

M aa = lm cos γ; Mba = lm cos(γ + 2π/ 3); Mca = lm cos(γ − 2π/ 3)

Тогда полное потокосцепление обмотки фазы a статора при наличии токов ротора с учетом (п.2.2)** будет

ψ12a = M aai2a + Mbai2b + Mcai2c = 3lmi2a cos γ/ 2 = Lmi2a cos γ

и по аналогии для двух других фаз:

ψ12b = Mabi2a + Mbbi2b + Mcbi2c = Lmi2b cos(γ + 2π/ 3);

ψ12c = Maci2a + Mbci2b + Mcci2c = Lmi2c cos(γ − 2π/ 3).

По этим проекциям аналогично (п.2.1)** можно построить вектор потокосцепления статора с ротором

ψ12 = 23 (ψ12a 12ba 12ca2 )=

= 23 Lm i2a cos γ +i2b cos(γ + 2π/ 3)a +i2c cos(γ − 2π/ 3)a2 = Lmi2e jγ

*В общем случае в m/2 раз. См. приложение 2.

**См. приложение 2

12

Потокосцепления электрической машины

и, суммируя с ψ11 из (1.10), получить общее потокосцепление статора, соответствующее режиму протекания токов в обмотках статора и ротора

ψ = ψ

+ ψ

= L i

+ L i

e jγ

(1.11)

1 11

12

1 1

m 2

 

 

В силу симметрии связей между статором и ротором аналогичное выражение можно записать для потокосцепления ротора с учетом того, что для него угол γ будет отрицательным, т.к. по отношению к статору этот угол отсчитывается в отрицательном направлении –

ψ

2

= ψ

21

+ ψ

22

= L i ejγ + L i

2

(1.12)

 

 

 

m 1

2

 

В выражениях (1.11) и (1.12) векторы тока статора и ротора записаны в различных системах координат. В первом выражении ток статора записан в неподвижной системе координат αβ, связанной со статором, а ток ротора во вращаю-

щейся (смещенной на текущий угол γ) системе координат uv , связанной с ротором, т.е. в полной записи с индексами систем координат –

ψ1(αβ) = L1i1(αβ) + Lmi2(uv)e jγ = L1i1(αβ) + Lmi2(αβ)

ψ(2uv) = Lmi1(αβ)ejγ + L2i2(uv) = Lmi1(uv) + L2i2(uv)

Если обе части уравнения потокосцепления ротора умножить на оператор поворота e jγ , то оно будет преобразовано в систему координат статора αβ и примет вид

ψ(2uv)e jγ = Lmi1(uv)e jγ + L2i2(uv)e jγ = ψ(2αβ) = Lmi1(αβ) + L2i2(αβ) .

Таким образом, форма уравнений для обобщённых векторов потокосцеплений не зависит от выбора системы координат и индексы системы в них можно опустить. Тогда окончательно потокосцепления статора и ротора с учетом всех токов АД можно представить в виде

ψ1 = L1i1 + Lmi2

= ψ11

+ ψ12

(1.13)

ψ2 = Lmi1 + L2i2 = ψ21 + ψ22

 

Из выражений (1.13) следует, что потокосцепления статора и ротора раскладываются на составляющие обусловленные собственным током ( ψ11 и ψ22 ) и то-

ком другой части АД ( ψ12 и ψ21 ).

Пользуясь тем, что сумма токов статора и ротора образует ток намагничивания АД, т.е. i1 + i2 = im , потокосцепления можно также представить через основ-

ной магнитный поток ψm = Lmim = Lm (i1 + i2 ) и потоки рассеяния статора ψ1σ = L1σ i1 и ротора ψ2σ = L2σi2

ψ1 = (L1σ + Lm )i1 + Lmi2 = L1σi1 + Lm (i1 + i2 ) = L1σi1 + Lmim = ψ1σ + ψm

(1.14)

ψ

2

= L i

+ (L

+ L )i

2

= L (i

+ i

2

) + L i

2

= L i

m

+ L i

2

= ψ

m

+ ψ

 

m 1

2σ

m

m 1

 

2σ

m

2σ

 

 

2σ

Асимметрия параметров АД и/или источника питания при наличии нулевого провода приводит к появлению в обмотках статора токов нулевой последователь-

Потокосцепления электрической машины

13

ности. Но для нулевой составляющей справедливо ia0 = ib0 = ic0 = i0 , поэтому, подставляя эти значения в (1.9), получим для фазы a статора

ψ1a0 = L1σi1a0 +lmi1a0 +lm cos2π/3 i1b0 +lm cos(2π/3) i1c0 =i0 (L1σ +lm lm / 2 lm / 2)=i0L1σ

Очевидно, что аналогичные выкладки для потокосцеплений рассеяния обмоток фаз b и c приведут к такому же результату, т.е. ψ1a0 = ψ1b0 = ψ1c0 = L1σi0 . Та-

ким образом, потокосцепления составляющих нулевой последовательности для всех обмоток одинаковы и определяются индуктивностью рассеяния L1σ .

1.1.3. Уравнения статора и ротора в векторной форме

Уравнения Кирхгофа для фазных напряжений статора АД имею вид u1a = i1ar1 + dψdt1a ; u1b = i1br1 + ddtψ1b ; u1c = i1cr1 + ddtψ1c *

Перейдем к векторной форме записи, умножив второе уравнение на a , третье

на a2 , а затем складывая все три уравнения.

23 (u1a +u1ba +u1ca2 )= 23 (i1a +i1ba +i1ca2 )r1 + 23 dtd (ψ1a 1ba 1ca2 )

В результате мы получим уравнение в векторной форме

u

= i r +

dψ1

(1.15)

 

1

1 1

dt

 

 

 

 

Аналогичные преобразования можно выполнить в системе координат uv , вращающейся синхронно с ротором, и получить

u

= i r +

dψ2

(1.16)

 

2

2

2

dt

 

 

 

 

 

Уравнения (1.15) и (1.16) записаны в разных системах координат. Для перевода уравнения (1.16) в неподвижную систему координат αβ умножим его на

оператор поворота e jϑ и представим потокосцепление ротора как ψ(2uv) = ψ(2αβ)ejϑ

u2(uv)e jϑ = i2(uv)e jϑr2 + e jϑd (ψ(2αβ)ejϑ )/ dt .

Опуская после преобразований индексы системы координат, получим

u2

= i2r2

+

dψ2

j

dϑ

ψ2

= i2r2

+

dψ2

jωψ2

(1.17)

dt

dt

dt

где ω= dϑ/ dt – текущая частота вращения ротора.

Переход к неподвижной системе координат в уравнении ротора привел к разделению слагаемого, соответствующего ЭДС индукции, на две составляющие. Первая составляющая dψ2 / dt связана с изменением потокосцепления во времени

вследствие изменения во времени токов и называется ЭДС трансформации, по аналогии с процессом ее возбуждения в соответствующей электрической машине. Вторая – ωψ2 связана с изменением потокосцепления вследствие вращения рото-

* При наличии нулевых составляющих к этим выражениям следует добавить уравнение u10 = i10r1 + ddtψ10 .