1.1.2. Потокосцепления электрической машины

Если пренебречь насыщением магнитопровода АД, то магнитные потоки, сцепляющиеся с его обмотками, будут пропорциональны соответствующим МДС. Рассмотрим основные соотношения между этими величинами. Допустим, что статор и ротор трехфазного АД симметричны, параметры обмотки ротора приведены к обмотке статора и рабочий зазор машины равномерный. Схематически эти обмотки показаны на рисунке 1.4.

ляющая потокосцепление с основным потоком – взаимной индуктивностью или индуктивностью основного потока. При отсутствии токов в обмотках ротора можно представить потокосцепление фазы a в виде

где Mab и Mac – взаимные индуктивности статорных обмоток.

Если две обмотки статора АД имеют одинаковые параметры, то магнитный поток, создаваемый током второй обмоткой и сцепляющийся с витками первой, будет полностью идентичен потоку, создаваемому первой обмоткой и сцепляющимся с витками второй, при условии равенства токов и совпадения расположения осей двух обмоток в пространстве. Очевидно, что при этих условиях картина магнитного поля будет одинаковой независимо от того, по какой из обмоток про-

текает ток, т.е. индуктивность основного потока статорных обмоток lm будет

равна их взаимной индуктивности при условии совмещения геометрических осей.

Смещение осей обмоток в пространстве на угол δ вызовет изменение их взаимной индуктивности пропорциональное косинусу угла сдвига, т.е. M = M 0 cos δ = lm cos δ, где M0 = lm – взаимная индуктивность обмоток при со-

вмещении их осей. С учетом выражения (п.2.2)* и того, что δb = 2π/ 3 и δc = −2π/ 3 , выражение (1.8) можно преобразовать к виду

ψ11a = L1σi1a +lmi1a +lm cos2π/ 3 i1b +lm cos(−2π/ 3) i1c = i1a (L1σ +3lm / 2)= (1.9)

= i1a (L1σ + Lm )= i1a L1

* См. приложение 2

Индуктивность L1 = L1σ + Lm соответствует полной индуктивности статорной обмотки, включающей ее индуктивность от потока рассеяния L1σ , индуктивность от части основного магнитного потока, созданного самой обмоткой lm , и индук-

тивность от части основного потока, созданной двумя другими обмотками статора lm / 2 . Таким образом, полная индуктивность обмотки статора от основного

Наличие токов в обмотках ротора приведет к появлению дополнительных составляющих потокосцеплений обмоток статора. Если ось фазы a ротора смещена в пространстве на некоторый угол γ (см. рис. 1.4), то взаимные индуктивности

обмоток ротора и фазы a статора можно определить через соответствующие углы, образуемые их осями, в виде –

M aa = M0a cos γ; Mba = M 0b cos(γ + 2π/ 3); Mca = M0c cos(γ − 2π/ 3)

где M0a , M0b , M0c – взаимные индуктивности обмоток при γ = 0 . Но взаимная индуктивность обмоток статора и ротора при нулевом смещении осей равна lm ,

т.к. параметры обмоток ротора приведены к статорным и можно считать, что при совпадении их осей картина магнитного поля будет такой же, как при совпадении осей статорных обмоток. Поэтому M0a =M0b =M0c = M0 = lm и

M aa = lm cos γ; Mba = lm cos(γ + 2π/ 3); Mca = lm cos(γ − 2π/ 3)

Тогда полное потокосцепление обмотки фазы a статора при наличии токов ротора с учетом (п.2.2)** будет

ψ12a = M aai2a + Mbai2b + Mcai2c = 3lmi2a cos γ/ 2 = Lmi2a cos γ

и по аналогии для двух других фаз:

ψ12b = Mabi2a + Mbbi2b + Mcbi2c = Lmi2b cos(γ + 2π/ 3);

ψ12c = Maci2a + Mbci2b + Mcci2c = Lmi2c cos(γ − 2π/ 3).

По этим проекциям аналогично (п.2.1)** можно построить вектор потокосцепления статора с ротором

ψ12 = 23 (ψ12a +ψ12ba +ψ12ca2 )=

= 23 Lm i2a cos γ +i2b cos(γ + 2π/ 3)a +i2c cos(γ − 2π/ 3)a2 = Lmi2e jγ

*В общем случае в m/2 раз. См. приложение 2.

**См. приложение 2

и, суммируя с ψ11 из (1.10), получить общее потокосцепление статора, соответствующее режиму протекания токов в обмотках статора и ротора

В силу симметрии связей между статором и ротором аналогичное выражение можно записать для потокосцепления ротора с учетом того, что для него угол γ будет отрицательным, т.к. по отношению к статору этот угол отсчитывается в отрицательном направлении –

В выражениях (1.11) и (1.12) векторы тока статора и ротора записаны в различных системах координат. В первом выражении ток статора записан в неподвижной системе координат αβ, связанной со статором, а ток ротора во вращаю-

щейся (смещенной на текущий угол γ) системе координат uv , связанной с ротором, т.е. в полной записи с индексами систем координат –

ψ1(αβ) = L1i1(αβ) + Lmi2(uv)e jγ = L1i1(αβ) + Lmi2(αβ)

ψ(2uv) = Lmi1(αβ)e− jγ + L2i2(uv) = Lmi1(uv) + L2i2(uv)

Если обе части уравнения потокосцепления ротора умножить на оператор поворота e jγ , то оно будет преобразовано в систему координат статора αβ и примет вид

ψ(2uv)e jγ = Lmi1(uv)e jγ + L2i2(uv)e jγ = ψ(2αβ) = Lmi1(αβ) + L2i2(αβ) .

Таким образом, форма уравнений для обобщённых векторов потокосцеплений не зависит от выбора системы координат и индексы системы в них можно опустить. Тогда окончательно потокосцепления статора и ротора с учетом всех токов АД можно представить в виде

Из выражений (1.13) следует, что потокосцепления статора и ротора раскладываются на составляющие обусловленные собственным током ( ψ11 и ψ22 ) и то-

ком другой части АД ( ψ12 и ψ21 ).

Пользуясь тем, что сумма токов статора и ротора образует ток намагничивания АД, т.е. i1 + i2 = im , потокосцепления можно также представить через основ-

ной магнитный поток ψm = Lmim = Lm (i1 + i2 ) и потоки рассеяния статора ψ1σ = L1σ i1 и ротора ψ2σ = L2σi2 –

Асимметрия параметров АД и/или источника питания при наличии нулевого провода приводит к появлению в обмотках статора токов нулевой последователь-

ности. Но для нулевой составляющей справедливо ia0 = ib0 = ic0 = i0 , поэтому, подставляя эти значения в (1.9), получим для фазы a статора

ψ1a0 = L1σi1a0 +lmi1a0 +lm cos2π/3 i1b0 +lm cos(−2π/3) i1c0 =i0 (L1σ +lm −lm / 2 −lm / 2)=i0L1σ

Очевидно, что аналогичные выкладки для потокосцеплений рассеяния обмоток фаз b и c приведут к такому же результату, т.е. ψ1a0 = ψ1b0 = ψ1c0 = L1σi0 . Та-

ким образом, потокосцепления составляющих нулевой последовательности для всех обмоток одинаковы и определяются индуктивностью рассеяния L1σ .

1.1.3. Уравнения статора и ротора в векторной форме

Уравнения Кирхгофа для фазных напряжений статора АД имею вид u1a = i1ar1 + dψdt1a ; u1b = i1br1 + ddtψ1b ; u1c = i1cr1 + ddtψ1c *

Перейдем к векторной форме записи, умножив второе уравнение на a , третье

на a2 , а затем складывая все три уравнения.

23 (u1a +u1ba +u1ca2 )= 23 (i1a +i1ba +i1ca2 )r1 + 23 dtd (ψ1a +ψ1ba +ψ1ca2 )

В результате мы получим уравнение в векторной форме

Аналогичные преобразования можно выполнить в системе координат uv , вращающейся синхронно с ротором, и получить

Уравнения (1.15) и (1.16) записаны в разных системах координат. Для перевода уравнения (1.16) в неподвижную систему координат αβ умножим его на

оператор поворота e jϑ и представим потокосцепление ротора как ψ(2uv) = ψ(2αβ)e− jϑ

u2(uv)e jϑ = i2(uv)e jϑr2 + e jϑd (ψ(2αβ)e− jϑ )/ dt .

Опуская после преобразований индексы системы координат, получим

где ω= dϑ/ dt – текущая частота вращения ротора.

Переход к неподвижной системе координат в уравнении ротора привел к разделению слагаемого, соответствующего ЭДС индукции, на две составляющие. Первая составляющая dψ2 / dt связана с изменением потокосцепления во времени

вследствие изменения во времени токов и называется ЭДС трансформации, по аналогии с процессом ее возбуждения в соответствующей электрической машине. Вторая – ωψ2 связана с изменением потокосцепления вследствие вращения рото-

* При наличии нулевых составляющих к этим выражениям следует добавить уравнение u10 = i10r1 + ddtψ10 .