§ 7. Запись результатов. Точность расчетов

Результат измерения записывается в виде, определяемом формулой (5). Запись т = 0,876 ± 0,008 г означает, что в результате измерений для массы тела найдено значение 0,876 г со стандартной погрешностью 0,008 г. Подразумевается, что при вычислении стандартной погрешности учтены как случайные, так и систематические ошибки.

Значащими цифрами являются все записанные цифры числа кроме нулей, а также нули, стоящие после других значащих цифр.²

При записи погрешности следует округлять ее величину до двух значащих цифр, если первая из них является единицей, и до одной значащей цифры во всех остальных случаях. Так, правильно писать ±3; ±0,2; ±0,08; ±0,14 и не следует писать ±3,2; ±0,23; ±0,084. Не следует также округлять ±0,14 до ±0,1. Поясним это правило. Как мы уже говорили, погрешность эксперимента редко удается определить с точностью лучше 20%. Если вычисление стандартной ошибки приводит к 0,14, то округленно 0,14 до 0,1 изменяет величину погрешности на целых 40%, в то время как округление до 0,3 числа 0,26 или 0,34 изменяет погрешность менее чем на 15%, т. е. несущественно.

При записи измеренного значения последней должна указываться цифра того десятичного разряда, который использован при указании погрешности. Так, один и тот же результат, в зависимости от погрешности, запишется в виде: 1,2 ±0,2; 1,24 ±0,03; 1,243 ±0,012 и т. д. Таким образом, последняя из указанных цифр (или даже две из них, как в последнем примере) оказывается сомнительной, а остальные – достоверными.

Сформулированное правило следует применять и в тех случаях, когда некоторые из цифр являются нулями. Если при измерении получен результат т = 0,900 + 0,004 г, то писать нули в конце числа 0,900 необходимо. Запись т = 0,9 означала бы, что о следующих значащих цифрах ничего не известно, в то время как измерения показали, что они равны нулю. Аналогичным образом, если масса тела равна 58,3 кг (с погрешностью в десятых долях килограмма), то не следует писать, что она равна 58300 г, так как эта запись означала бы, что тело взвешено с точностью несколько граммов. Если результат взвешивания должен быть выражен в граммах, то в нашем случае нужно писать 5,83 · 10⁴ г.

Необходимая точность расчетов определяется тем, что расчет не должен вносить в измерения дополнительной погрешности. Обычно в промежуточных расчетах сохраняется один лишний разряд, который в дальнейшем – при записи окончательного результата – будет отброшен.

§ 8. Изображение экспериментальных результатов на графиках

Результаты экспериментов обычно представляют не только в виде таблиц, но и в графической форме. Для графиков следует использовать специальную бумагу (миллиметровую, логарифмическую или полулогарифмическую). При их отсутствии иногда приходится (хотя это крайне нежелательно!) пользоваться бумагой «в клеточку» или белой бумагой, па которой карандашом нанесена сетка. Не следует выбирать слишком малый или слишком большой лист бумаги. Удобна бумага размером в обычный тетрадный лист (или в развернутый лист). Полезно пользоваться листами миллиметровки из блокнотов (или планшетов) для диаграмм.

П ри построении графиков следует разумно выбирать масштабы, чтобы измеренные точки располагались на всей площади, листа. На рис. 3 изображены примеры правильного и неправильного построения графика. На левом (неправильно построенном) графике экспериментальные точки занимают нижнюю правую часть рисунка. Чтобы этого избежать, следует выбрать более крупный масштаб по оси Y и сместить нуль на оси абсцисс, как это сделано на правом графике.

Масштаб должен быть удобным. Клеточка графика (или миллиметр миллиметровой бумаги) может соответствовать 0,1; 0,2;. 0,5; 1; 2; 5; 10 и т. д. единицам измеряемой величины, но не 2,5; 3; 4; 7 и т. д. При неудобном масштабе нанесение экспериментальных точек на график и использование графика требуют неоправданно большого времени и нередко сопровождаются досадными ошибками.

Графическое представление результатов позволяет быстро понять основные характерные черты наблюдаемой зависимости и обнаружить ошибочные результаты. Так, при рассмотрении графика рис. 3 видно, что кривая В = В(Н) при увеличении Н становится более пологой. Третья слева точка выпала. По-видимому, при ее измерении была допущена ошибка. Если это не так, то в районе этой точки искомая зависимость имеет резко выраженную особенность. Такие особенности представляют большой интерес. Поэтому нужно внимательно промерить область, расположенную вблизи выпавшей точки, и постараться детально изучить форму кривой в районе найденной особенности.

Точки, наносимые на графики, должны изображаться четко и ясно. Их следует отмечать карандашом, так как иначе ошибочно нанесенную точку нельзя удалить с графика, не испортив его. Никаких линий и отметок, поясняющих построение точек, на график наносить нельзя, так как они загромождают рисунок и мешают анализировать результаты.

Т очки, полученные в разных условиях (при нагревании и при охлаждении, при увеличении и при уменьшении нагрузки, в разные дни и т. д.), полезно наносить разными цветами или разными значками. Это помогает увидеть новые явления. Так, графики рис. 4, а и 4, б изображают один и тот же набор точек. На рис. 4, а все эти точки нанесены одинаково, а на рис. 4, б точки, полученные при нагревании и охлаждении, изображены по-разному (точками и крестиками). На первом из графиков виден только разброс точек, а второй из них показывает, что разброс на самом деле невелик, но точки, измеренные при нагревании и при охлаждении, лежат па разных кривых. Ясно, что только рис. 4, б содержит необходимую для анализа информацию и, следовательно, построен грамотно.

С пособ изображения на графике экспериментальных результатов зависит от того, известна ли их погрешность. Если она неизвестна (что чаще всего и бывает), то результаты изображаются точками, а если известна, то лучше изображать их не точками, а крестами. Полуразмер креста по горизонтали должен быть равен стандартной погрешности по оси абсцисс, а его вертикальный полуразмер – погрешности по оси ординат. В том случае, если одна из ошибок – из-за своей малости – не может быть изображена графически, результаты изображаются черточками, вытянутыми на ±σ в том направлении, где погрешность не мала. Важность такого способа изображения результатов ясна из рис. 5, а и б, на которых изображены одни и те же экспериментальные точки при разных погрешностях измерений. График -5, а, несомненно, указывает на нерегулярный ход изучаемой зависимости. Эта зависимость изображена на рисунке кривой линией. Те же данные при больших ошибках опыта (рис. 5, б) с успехом описываются прямой линией, так как только одно измерение отступает от этой кривой больше, чем на стандартную ошибку (и меньше, чем на две такие ошибки). То обстоятельство, что при ошибках рис. 5, а данные требуют проведения кривой, а на рис. 5, б этого не требуют, проясняется лишь при изображении экспериментальных результатов в виде креста погрешностей.

Из сказанного отнюдь не следует, что, изображая результаты опытов не крестами погрешностей, а простыми точками, мы всегда совершаем ошибку. Если величины погрешностей уже ясны при построении графика, следует, конечно, их изображать. Чаще всего, однако, эти погрешности к моменту построения графика неизвестны, и их разумно определять из разброса точек на графике. В этих случаях экспериментальные данные естественно изображать простыми точками.

Линии, проведенные через экспериментальные точки на рис. 5, а и б, не только облегчают рассмотрение данных, но и служат примером обработки результатов опыта. В следующем разделе мы подробно обсудим, как следует проводить такие линии. Пока заметим, что кривые на графиках не всегда проводятся через экспериментальные точки. Нередко кривые изображают зависимость, полученную не из эксперимента, а из теоретических соображений (или из других опытов). При построении таких кривых возникает необходимость предварительно нанести на график ряд расчетных точек. Эти точки должны наноситься еле заметным образом, чтобы их нельзя было спутать с четкими точками (или крестами), изображающими экспериментальные данные. Лучше всего, чтобы расчетные точки вообще не были заметны.

Оси графика должны иметь ясные, четкие обозначения. Рядом с делениями – на удобных расстояниях – должны быть нанесены цифры, позволяющие установить значения, соответствующие делениям шкалы. Цифры принято располагать по краям сетки. На рис. 3 и 4 цифры стоят не около каждой вертикальной линии, а через одну. Это не вызывает неудобств, так как читатель легко восстанавливает пропущенные значения.

Круглые значения цифр располагаются на жирных линиях сетки (на миллиметровой бумаге такие линии идут через 5 см). На графиках должно быть указано, какая физическая величина и в каком масштабе на ней отложена, как это, например, сделано на рис. 3 и 4.