3.2 Задача наполнения бака

Целью решения данной задачи является приобретение практических навыков построения математических моделей процессов, на примере процесса протекающего при наполнении бака (рисунок 3.2).

Q(t) – количество жидкости в баке; q₁(t) – объем втекающей жидкости в единицу времени; q₂(t) – объем вытекающей жидкости в единицу времени; h(t) – уровень жидкости в баке; S – площадь днища бака с вертикальными стенками;  – постоянное проходное сечение.

Рисунок 3.2. Схема процесса, протекающего в баке.

Алгоритм построения структурной модели динамических процессов:

Шаг 1. Определение основных переменных – причин изменения состояния объекта (входной сигнал), и следствия, которые являются непосредственно наблюдаемым результатом (выходной сигнал). Для бака:

– входами являются расходы q₁(t) и q₂(t) – две причины изменения уровня жидкости в баке h(t);

– выходом является уровень h(t), который можно непосредственно измерить.

Шаг 2. Определение промежуточных переменных и параметров – какие промежуточные переменные и параметры полезно рассматривать при изучении преобразования первопричин–входов в конечное следствие–выход.

Промежуточные переменные для бака:

q(t) – разность расходов;

Q(t) – количество жидкости в баке;

– скорость изменения количества жидкости.

Параметр для бака: площадь днища S.

Шаг 3. Анализ причинно–следственных связей между переменными:

– разность расходов или уравнение баланса расходов имеет вид

q(t)= q₁(t) – q₂(t); (3.1)

– разность расходов определяет скорость изменения количества жидкости

=q(t), (3.2)

– количество жидкости Q(t) в каждый момент времени t>0 определяется его начальным значением и накоплением за время t>0:

, (3.3)

– зависимость уровня h(t) от объема Q(t) как

, (3.4)

где k_h – постоянный коэффициент.

Шаг 4. Построение структурной схемы.

Зависимости (3.1–3.4) можно описать структурной схемой, которая представляет собой совокупность блоков–преобразователей и связей между ними (рисунок 3.3).

Рисунок 3.3 – Структурная схема объекта

Преобразователь 1 – сумматор или элемент сравнения, отражает зависимость баланса расходов от входов и соответствует уравнению (2.1). Зачерненный сектор отмечает переменную, входящую в алгебраическую сумму со знаком ''минус".

Преобразователь 2 описывает зависимость количества жидкости Q(t) от скорости его изменения по уравнению (3.3).

Преобразователь 3 – зависимость уровня жидкости h(t) от ее количества Q(t) по уравнению (3.4).

Аналитическая математическая модель процесса заполнения или опорожнения бака описывается в виде дифференциального уравнения

, , , (3.5)

где t– непрерывное время;

t₀ – начальное время;

– начальное условие.

Приведем подробный процесс получения уравнения (3.5). Разрешим уравнение (3.4) относительно величины Q(t)

_{, (3.6)}

_{и продифференцируем правую и левую части полученного выражения}

_{. (3.7)}

_{В соответствии с выражением (3.2), уравнение (3.6) приведем к виду}

_{ . (3.8)}

_{Умножив правую и левую части уравнения (3.7) на коэффициент kh получим выражение (3.5).}

С учетом с обозначением входных и выходных сигналов через u(t) и y(t), математическую модель бака (3.5) можно представить в виде в абстрактном виде

, , . (3.9)