1. Основной закон и дифференциальное уравнение теплопроводности

1.1. Механизм теплопроводности в разных средах. Понятия температурного поля и градиента температур. Закон Фурье. Зависимость коэффициента теплопроводности в разных средах от температуры

1.1.1. Механизм теплопроводности в разных средах

1. ГАЗЫ - в них тепло передаётся движением любых свободных частиц газа (диффузия), (передается кинетическая энергия при столкновении частиц).

2. ЖИДКОСТИ - отдельных молекул нет. В блоках молекул механизм передачи тепла упругими нестройными колебаниями.

3. ДИЭЛЕКТРИКИ - тепло передаётся стройными упругими колебаниями узлов решётки (фононная теплопроводность, она учитывается, если температура меньше на 20º точки плавления).

4. МЕТАЛЛЫ - тепло передается движением свободных электронов в зоне проводимости.

Г, Ж, Д, М - Тепло передается, или движением свободных частиц или нестройными упругими колебаниями в блоках молекул или стройными упругими колебаниями узлов решетки – это механизм теплопроводности в любой среде.

1.1.2. Понятия температурного поля и градиента температур

Температурное поле – это совокупность значений температуры во всех точках тела в данный момент времени. Аналитическое исследование теплопроводности сводится к изучению пространственно-временного изменения основной физической величины – температуры, характерной для данного явления, т. е. к нахождению зависимости:

, ,

(1)

где , , – пространственные координаты в декартовой системе;

– время, с.

Так как температура есть величина скалярная, то и температурное поле является скалярным полем. Различают стационарное и нестационарное температурные поля. Нестационарным температурным полем называется такое поле, температура которого изменяется не только в пространстве, но и с течением времени, или, как образно говорят, «температура есть функция пространства и времени» (неустановившееся состояние). Уравнение есть математическая запись нестационарного температурного поля. Стационарным температурным полем называется такое поле, температура которого в любой его точке не изменяется во времени, т. е. является функцией только координат:

, .

(2)

Температурное поле, соответствующее уравнениям (1) и (2), является пространственным, т. к. температура является функцией трех координат. Если температура есть функция двух координат, то поле называется двухмерным и его запись имеет вид:

, .

(3)

Если температура есть функция одной координаты, то поле называется одномерным и формула (1.1) примет следующий вид:

, .

(4)

Наиболее простой вид имеет уравнение одномерного стационарного температурного поля:

, .

(5)

Примером одномерного температурного поля может служить поле неограниченной стены – фрагмента ограждающей конструкции (стена, ширина и длина которой очень велики по сравнению с толщиной) при распространении тепла перпендикулярно к ее поверхности.

Изотермическая поверхность – это геометрическое место точек, температура в которых одинакова. Пересечение изотермической поверхности плоскостью дает на этой плоскости семейство изотерм (рис. 1).

Рис. 1 – Изотермы температурного поля

Так как одна и та же точка не может одновременно иметь различные температуры, то изотермические поверхности не пересекаются. Они либо оканчиваются на поверхности тела, либо целиком располагаются внутри самого тела. Температура в теле изменяется только в направлениях, пересекающих изотермические поверхности. При этом наибольшей перепад температуры на единицу длины происходит в направлении нормали к изотермической поверхности. Возрастание температуры в направлении к изотермической поверхности характеризуется градиентом температуры.

Температурный градиент – это вектор с положительным знаком при возрастании температуры и с отрицательным при ее падении. Градиент температуры численно равен производной температуры по нормали, т. е.:

,

(6)

где – единичный вектор, направленный по нормали в сторону возрастания температуры (см. рис. 1.1);

– производная температуры по направлению нормали к изотермической поверхности.

Градиент обозначается также символом . Составляющие градиента по осям декартовых координат равны соответствующим частным производным, так что:

(7)

где , , – ортогональные между собой векторы единичной длины, направленные по координатным осям. Это соотношение обусловлено тем обстоятельством, что любой вектор можно представить как векторную сумму трех векторов, направленных по координатным осям.

Можно ввести понятие напряженности температурного поля, которая по определению равна.

(8)

Вектор называется вектором напряженности температурного поля.