1.Теплоємність

Теплоємністю називають фізичну величину, що визначається кількістю теплоти, яка потрібна для нагрівання певної маси на один градус. Якщо надана тілу кількість теплоти dQ підвищує його температуру на dT, то його теплоємність:

C=dQ/dT

(1)

Теплоємність виражається у джоулях на кельвін (Дж/К). Розрізняють молярну та питому теплоємності. Теплоємність моля речовини позначають літерою С. Одиниця виміру її – джоуль на моль – кельвін [Дж/(моль К)]. Теплоємність одиниці маси речовини називають питомою теплоємністю, її позначають літерою с. Одиниця виміру питомої теплоємності – джоуль на кілограм – кельвін [Дж/(кг К)].

Між молярною та питомою теплоємностями речовини існує така залежність:

C= M c,

(2)

де M - молярна маса.

Теплоємність залежить від умов, за яких тіло нагрівається. Найбільший інтерес становить теплоємність для випадків, коли нагрівання здійснюється при ста лому об’ємі або тиску. В першому випадку теплоємність називають теплоємністю при сталому об’ємі (Сv), а в другому – теплоємністю при сталому тиску (Ср).

Якщо нагрівання відбувається при сталому об’ємі, тіло не здійснює роботи над зовнішніми тілами і, отже, вся теплота витрачається на приріст внутрішньої енергії тіла:

dQv=dU

(3)

Звідси випливає, що теплоємність будь – якого тіла при сталому об’ємі:

Сv=dU/dT

(4)

Отже, щоб дістати вираз для теплоємності моля ідеального газу при сталому об’ємі, треба здиференціювати за температурою вираз – Uм=NA Eк=(i/2) NAkT= (i/2) RT (*) для внутрішньої енергії газу. Виконавши диференціювання, дістанемо:

Cv= (i/2) R

(5)

Як впливає з цієї формули, теплоємність ідеального газу при сталому об’ємі залишається величиною сталою, що не залежить від параметрів стану газу, зокрема від температури.

Розглянемо один моль ідеального газу в двох різних станах, які мають одинаків об’єм, а за температурою відрізняються один від одного на один градус. Використавши вираз (*), дістанемо:

Cv=U’’ – U’ = (i/2) R(T+1) – (i/2) RT= (i/2) R

(6)

Визначимо молярну теплоємність газу при сталому тиску Ср=Сv+

+ А, де А – робота, яку виконує газ при розширенні, значення якої при р=const визначається за формулою А=р V. Тоді

C p=Cv + p V

(7)

д е V – зміна об’єму газу при нагріванні його на один градус при

p =const. Для визначення V використаємо рівняння стану для моля газу: pV=RT; V= (RT/p) . Звідси

V = (R/p)(T+1) –(R/p) T=R/p

(8)

Підставивши значення V у рівняння (7), дістанемо

Cp=Cv+R

(9)

Отже, робота, яку здійснює моль ідеального газу в разі підвищення його температури на один градус при сталому тиску, дорівнює універсальний газовий сталій.

З урахуванням формули (6) можна дістати для Ср такий вираз:

Ср= (i+2/2) R

(10)

Поділивши (10) на (6), знайдемо характерне для кожного газу відношення Cp до Cv:

Y= (Cp/Cv)=(i+2/2)

(11)

Як випливає з (11), відношення теплоємностей Y визначається числом ступенів вільності молекули.

СЕРЕДНЯ ТЕПЛОЄМНІСТЬ визначається кількістю теплової енергії, яку необхідно надати тілу, щоб його температура збільшилася на один Кельвін:

С ср= Q/ T

ІСТИННА ТЕПЛОЄМНІСТЬ – це границя, до якої прямує середня теплоємність, коли різниця температур прямує до нуля:

С =lim Ccp=lim ( Q/ T) = dQ/dT

Істинна теплоємність – це перша похідна від кількості тепла за температурою.

Дуже багато газів за нормальних умов близькі до ідеального газу. Тому цікаво порівняти теорію з експериментом.

Газ	yт	yе	i	yр
He Ne	1,67 1,67	1,66 1,67	3 3	1,67 1,67
H2 N2	1,67 1,67	1,41 1,395	5 5	1,4 1,4
C6H6	1,67	1,13	12	1,16

У першій графі таблиці наведено назви газів, у другій – теоретичне значення відношення теплоємностей yт, у третій – експериментальні значення yе.

Як бачимо, для перших двох газів, а саме для гелію і неону, теорія та експеримент узгоджуються напрочуд добре. Трохи менше узгодженість для двох наступних газів – водню та кисню, і ще менше для бензолу.

Перш ніж рухатись далі, необхідно з ясувати, чи не є розбіжності результатом похибки експерименту. Смію запевнити, що ні!

Чим же відрізняються ці три групи газів?

Відразу видно, що до першої групи потрапили тільки одноатомні гази. До другої – двоатомні, до третьої – багатоатомні. Отже, причини збігу і розбіжностей треба шукати в побудові молекул, точніше – у можливих видах руху.

Одноатомні молекули, як матеріальні точки, можуть здійснювати тільки поступальний рух. Молекули з більшою кількістю атомів можуть здійснювати крім поступального коливальні та обертальні рухи. Мабуть, ключ до розгадки саме в цьому.

Формули для теплоємностей та їх відношення

Теплоємність за сталого тиску Cp=(i/2)R

Теплоємність за сталого об’єму Cv=(i+2/2)R

Відношення теплоємностей yp=Cp/Cv=(i+2)/i

Повернемось знов до таблиці.

У четвертій графі наведено кількості ступенів свободи і, а в п’ятій – нові значення відношення теплоємностей yp. Бачимо, що тепер узгодженість із дослідом істотно поліпшилася. Гіпотеза Максвела – Больцмана виявилась досить плідною.

Однак:

По – перше, залишилось питання про те, як визначити кількість ступенів свободи для двохатомної молекули водню такою, що дорівнює п’яти, тобто припустили, що в молекули є два поступальні та три обертальні ступені свободи. А чому не врахували коливальні ступені?

Можливо, тому, що врахування коливальних ступенів погіршило б узгодженість з експериментом.

На жаль, немає ніякого механізму, який би дозволив з упевненістю визначити кількість ступенів свободи, знаючи тільки хімічну формулу молекули. Скоріше навпаки, маючи експериментальні дані щодо теплоємності газу, можна дібрати потрібну кількість ступенів свободи і дістати інформацію про види рухів молекули.

По – друге, на нас чекає ще більша неприємність.

Згідно з елементарною теорією теплоємність ідеального газу не залежить від температури або тиску. Вона стала. А дослід показує, що теплоємність навіть такого «хорошого» газу, як водень, залежить від температури і в доволі складний спосіб.

Виходить, що один і той самий газ при різних температурах поводиться то як одноатомний, то як двохатомний з жорстким зв’язком, то як двохатомний з пружним зв’язком. Кількість ступенів свободи зменшується при зменшенні температури.