2 Выполнение численных расчетов
Для проведения численных расчетов и процесса решения с помощью комплексных амплитуд необходимо заменить каждую переменную из формулы (18) формой комплексного числа. Тогда формула (18) примет вид:
. (19)
Найдем все
переменные в комплексной форме. Согласно
(4) для
получим
a
+ bj, (20)
где
a
= 3
cos(-60
)
– действительная часть;
b = 3 sin(-60 ) – мнимая часть.
l
определяется равенством
l = jωL. (21)
Далее,
1
= R1
+ 0
j
= R1, (22)
2 = R2 + 0 j = R2, (23)
об
=
. (24)
c определяется равенством
c
=
= - j
. (25)
Комплексный
вид сопротивления
примет вид
=
=
=
. (26)
Тогда
об
= -
j
+
. (27)
Введем обозначения
m
=
(28)
где m – это действительная часть комплексного сопротивления об,
k
=
, (29)
где k – это мнимая часть комплексного сопротивления об.
Запишем
формулу для искомого тока
с учетом новых обозначений.
=
=
(30)
Введем еще несколько обозначений для упрощения вида формулы (30):
α
=
; (31)
β
=
(32)
γ
=
(33)
δ
=
(34)
Окончательно для тока имеем
=
=
=
=
+
j. (35)
Отсюда получим амплитуду IR2m и начальную фазу φR2 для искомого тока.
IR2m
= |
|
=
, (36)
φR2
= arg(
)
= arctg
. (37)
Далее, была составлена программа на языке высокого уровня C#. Программа производит расчеты на основе формул (36), (37), (31) – (34), (28), (29). На рисунке 3 приведено окно рабочей программы. В левой нижней части окна выставлены все исходные данные, в правой нижней части выводятся результаты, начальная фаза и амплитуда. В приложении А приведен исполняемый код кнопки “Расчет”. Так же дополнительно реализована в программе возможность расчета мгновенного значения тока на сопротивлении R2. По введенному пользователем времени (задается в секундах) в окне “i(R2)(мгнов.)” по нажатии кнопки “Мгнов.i” выдается ответ в амперах (либо в мА). Исполняемый код кнопки “Мгнов. i” приведен в приложении Б.
Рисунок 3 – Окно рабочей программы
С учетом заданных условий получились следующие значения:
- IR2m = 1,29 А;
- φR2 = -8,32 ;
- iR2(0) = -3,3 мА.
Здесь iR2(0) – это мгновенное значение тока на сопротивлении R2 в момент времени t = 0 сек.
3 Проверка решения
На рисунке 4 изображена цепь, собранная в ППП MicroCAP 9.0.5.0. Далее был проведен анализ переходных процессов (Transient - Run). Установки для анализа показаны на рисунке 5. Подробнее о проведении анализа переходных процессов и о настройках программы можно прочитать в [2].
Рисунок 4 – Цепь, собранная в ППП MicroCAP 9.0.5.0
При анализе были отложены два графика, ток i0(t) и iR2(t). В приложении В показаны графики токов.
Рисунок 5 – Установки анализа
Из графика,
расположенного на рисунке В.1 определим
амплитуду тока iR2.
Для крайних точек, выделенных электронными
курсорами имеем размах h
= 1,292 – (-1,291) = 2,583. Тогда амплитуда IR2m
=
= 1,292 А.
Чтобы
определить начальную фазу, отступим
вперед на период T =
= 2
.
Это делается из тех соображений, что
график тока на сопротивлении R2
отображается с учетом переходных
процессов при включении в нулевой момент
времени, а в нуле в действительности
показывается мгновенное значение тока
при переходном процессе. На рисунке В.2
стрелкой отмечен момент времени, который
условно будет считаться началом отсчета,
вертикальная линия обозначает ось Y.
Тогда в точке, отмеченной стрелкой
имеем:
- t = 0;
iR2(t) = -0,19;
Тогда, решая
на промежутке [
;
]
уравнение
1,292sin(ω
)
= -0,19, (38)
получим
arcsin (
)
= - 0,148 рад. = - 8,48
. (39)
В итоге имеем следующие результаты:
- результат расчетов программы
; (40)
- результат, полученный в MicroCAP 9.0.5.0
. (41)
Рассчитаем относительную погрешность для амплитуды и начальной фазы.
εIR2m
=
, (42)
εφR2
=
. (43)