2.3 Лекция 4 Матрицы

2.3.1 Определение матрицы. Виды матриц.

2.3.2 Действия над матрицами.

2.3.1 Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая m×n элементов, расположенных в m – строк и n – столбцов.

А_{m n} = . Если m ≠ n, то матрица называется прямоугольной.

А_{n n} = . Если m = n, то матрица называется квадратной.

А_mn = {а_ij}, где i = 1,2,3,…m, j = 1,2,3…n.

A_1n = (a₁₁, a₁₂…a_1n) – строчная матрица

A_{m 1} = - столбцовая матрица.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется ноль-матрицей

А = .

Воображаемая прямая, которая проходит в квадратной матрице через элементы с одинаковыми индексами ( а₁₁, а₂₂, …а_nn), называется главной диагональю матрицы.

Если в квадратной матрице все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной.

А = .

Диагональная матрица называется единичной, если все ее элементы по главной диагонали равны 1.

А₃ = = Е, единичная матрица третьего порядка.

Две матрицы называются равными, если у них:

1. одинаковое число строк;

2. одинаковое число столбцов;

3. все соответствующие элементы 2-х матриц равны.

Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, называется определителем квадратной матрицы (детерминант матрицы)

det A = .

Квадратная матрица называется неособенной, если её детерминант отличен от нуля (det А ≠ 0).

Квадратная матрица называется особенной, если её детерминант равен нулю (det А = 0).

Пример - Определить вид матрицы А =

Найдем det A = Δ₃

Δ₃ = = 0 – 6 – 0 + 0 +6 – 12 = - 12 ≠ 0, матрица неособенная.

Матрица А' называется транспонированной по отношению к А, если в матрице А поменять местами строки и столбцы с сохранением порядка.

А = А' =

Если А имеет размер m×n, то А' имеет размер n×m.

A_3×3 = ; A'_3×3 = ; A_4×3 = ; A'_3×4 = .

Свойства транспонирования.

1. (А')' = А;

2. (λА)' = λА';

3. (А + В)' = А' + В'.

2.3.2 Действия над матрицами.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы А на число α, или числа α на матрицу А называется такая матрица, все элементы которой есть произведение соответствующих элементов данной матрицы на число α.

Например, А = , α = 3 3·А = .

Сложение матриц Пусть даны две матрицы, у которых число строк и число столбцов одинаково (т.е. матрицы одинакового размера).

А_{m n} = {а_ig}

В_{m n} = {b_ig}

Суммой двух матриц А и В одинакового размера m×n называется матрица С = А + В, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В, т.е. матрицы складываются поэлементно,

А_mn + В_mn = C_mn {c_ig = а_ig + b_ig}.

Например - А = , В = С = А + В = .

В частном случае А + 0 = А.

Умножение матриц. Две матрицы могут быть перемножены, если число столбцов I матрицы равно числу строк II матрицы.

Произведением матрицы А на матрицу В называется такая матрица С, с элементами {c_ij}, где каждый элемент есть сумма произведений элементов i – cтроки матрицы А на j столбец матрицы В.

c_ij = a_i1 · b_1j + a_i2 · b_2j + a_i3 · b_3j +…+ a_ip · b_pj

В матрице С строк столько, сколько их в матрице А и столбцов столько, сколько их в матрице В.

Пример. Найти произведение матрицы А на В

А_2×3 = В_3×3 = А · В = С_2×3 {c_ig}

Пользуясь определением произведения двух матриц найдем элементы матрицы С

с₁₁ = 2·4 + 0·3 + (-1) ·0 = 8

с₁₂ = 2·1 + 0·2 + (-1) ·1 = 1

с₁₃ = 2·0 + 0·1 + (-1) ·0 = 0

с₂₁ = 0·4 + (-2) ·3 + 2·0 = -6

с₂₂ = 0·1 + (-2) ·2 + 2·1 = -2

с₂₃ = 0·0 + (-2) ·1 + 2·0 = -2

С_2×3 =

Свойства произведений

Первое свойство Произведение матрицы на единичную матрицу равно данной матрице.

Пример.

· = = .

Второе свойство При умножении ноль-матрицы на матрицу А получится ноль-матрица

0 · А = 0

Третье свойство Умножение матриц не подчиняется переместительному закону.

А · В ≠ В · А.

Четвертое свойство Возведение в степень.

n-ой степенью матрицы А называется произведение n множителей, каждый из которых равен А.

Аⁿ = , (только для квадратных матриц).

Пример.

А = ; А² = .

Пятое свойство. Произведение матриц подчиняется распределительному закону (дистрибутивному)

(А + В) · С = А· С + В· С.

Проверьте на примере.

Шестое свойство. Умножение матриц подчиняется сочетательному закону (ассоциативному).

(А · В) · С = А · (В · С).

Проверьте на примере.

Контрольные вопросы

1. Что называется матрицей?

2. Перечислите виды матриц.

3. Какие матрицы называются равными?

4. Что называется детерминантом матрицы?

5. Какие матрицы называются транспонированными?

6. Какими свойствами обладает операция транспонирования?

7. Что называется произведением матрицы на число?

8. Что называется суммой двух матриц?

9. Что называется произведением двух матриц?

10. Перечислите свойства произведения. Приведите примеры.

Упражнения

1 Определите вид матрицы

а) ; б) ;

в) ; г) .

2 Даны матрицы А и В. Выполните указанные действия.

а) А = , В =

А + В, А – В, 3,5·А + 0,45 ·В, А · В+В · А.

б) А = , В =

А·В + В·А, А² + В².

в) А = , В =

А +В, А – В, 2·А + 0,2·В.

г) А = , В =

А·В, В  А.

д) А = В =

- · А · В.

е) А = В =

А·В – 2·В·А + 3·Е.

ж) А = В =

А² + В² + 3А – 4В.

з) Дана матрица

А =

Вычислите det A и det A'. Сделайте вывод.