При построении графиков функции пользуются следующей схемой

1. Установить область определения функции.

2. Установить область значений функций.

3. Установить четность или нечетность функции, периодичность.

4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

5. Исследовать функцию на монотонность. Найти точки максимума и минимума и значение функции в этих точках.

6. Построить график функции.

Контрольные вопросы

1. Что называется производной?

2. В чем заключается геометрический и физический смысл производной?

3. Сформулируйте правила дифференцирования.

4. Сформулируйте алгоритм исследования функции на возрастание и убывание.

5. Сформулируйте алгоритм исследования функции на максимум и минимум.

6. Сформулируйте алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции.

7. По какой схеме производится исследование функции?

Упражнения

1 Найдите производную функции y .

1) y = 4x ; 2) y = 3x ; 3) y = 4x ;

4) у = ; 5) y = ; 6) y = ;

7) y = ; 8) y = ; 9) y = ;

2 Вычислите производную f ′ ( x) при данном значении аргумента x:.

1) f (x) = 4x - 3x - x -1 , x = -1;

2) f (x) = 3x - 2x + 4x-1 , x = -1 ;

3) f (x) = 1- x + x - x + x , x = 2 .

4) f (x) = ( 2x - 1 )( x + 1 ) , x = 1;

5) f (x) = (3 - x )(4+x ) , x = -2 ;

6) f (x) = (x + x )( x - 1) , x = - 1.

3 Вычислите производную f (x) при данном значении аргумента x:

1) f (x) =(x +2x-1) , x = -1 ;

2) f (x) =(x -4x +3) , x = 1 ;

3) f (x) = (3x -1) , x = 1.

4 Найдите производную тригонометрической функции:

1) y = sin 3x;

2) y = cos 2x;

5 Вычислите производную при х = 1:

1) y = x ln x ;

2) y = (ln x – 1)x ;

6 Найдите промежутки возрастания и убывания функций:

1) y = x - 6x + 5 ; 2) y = 2x - 4x +5 ;

3) y = - x +4x +1 ; 4) y = x - 3x + 1 ;

5) y = - x + x + 2 ; 6) y = -2x +15x - 36x +20 ;

7 Исследуйте функцию на экстремум:

1) y = x - 8x +12 ; 2) y = x - 10x +9 ;

3) y = -x + 2x +3 ; 4) y = -2x + x +1;

5) y = 2x - x ; 6) y = - x + 8x ;

7) y = - 4x ; 8) y = - x ;

9) y = 2x ; 10) y = 2x ;

8 Найдите наибольшее и наименьшее значение функций в заданном промежутке:

1) y = x , x ;

2) y = x , x ;

3) y = x , x ;

4) y = x x ;

5) y = x

6) y = x .

9 Исследуйте функцию и постройте график.

1) у = 2х² – х²; 2) у = х³ – 3х;

3) у = х³ + ; 4) у = .