4.3. Синтез корректирующего устройства ку1

Названные показатели качества СС могут быть обеспечены введением либо только КУ1 последовательного типа, либо только КУ2 параллельного типа или в виде местной обратной связи, либо одновременно КУ1 и КУ2. Наиболее просто решается задача синтеза при введении последовательного КУ1. Синтез КУ1 состоит из шести этапов.

4 .3.1. Описываем СС дифференциальными уравнениями. Выражения дифференциальных уравнений выбираются для всех элементов. Перед написанием системы дифференциальных уравнений на схеме нужно проставить разными буквами обозначения сигналов или при одинаковых буквах должны быть разные индексы. Для схемы на рис.4.1 система уравнений имеет вид

Первые 5 уравнений системы (4.2) определяются типами элементов электрической части СС, и их соединениями. Уравнения с 6 по 11 описывают механическую часть СС и для всех вариантов будут одни и те же.

При составлении уравнений системы (4.2) нужно руководствоваться правилом: число уравнений должно быть равно числу зависимых переменных. Для контроля этого правила по мере составления системы уравнений слева между двумя линиями выписываются впервые появляющиеся переменные состояния (переменные функции) СС.

В системе отмечены "коробочкой" две независимые переменные (переменные-аргументы): угол β поворота штурвала и момент сопротивления нагрузки М_С.

4.3.2. Составляем структурную схему СС. Для этого из каждого уравнения системы (4.2) определяем одну переменную-функцию, руководствуясь правилом, что из каждого уравнением должна быть выражена только та переменная, которая не выражалась ранее из другого уравнения. Этому правилу может соответствовать, например, такая система уравнений:

(4.3)

Каждому уравнению системы (4.3) соответствует блок структурной схемы СС (рис.4.2).

Полная структурная схема, составленная из блоков, приведенных на рис.4.2, представлена на рис.4.3. Из этой структурной схемы можно найти передаточную функцию неизменяемой части разомкнутой СС по ошибке

(4.4)

при разомкнутых цепях главной обратной связи и КУ2 и при W_КУ1=1.

Сворачивание схемы с учетом числовых значений k_=2, T_у=0,001, …и т.д. в данном случае дает (при выполнении курсового проекта нужно привести поэтапное сворачивание структурной схемы)

(4.5)

4.3.3. Строим ЛАЧХ неизменяемой части СС, используя выражение (4.5). Сначала находим корни характеристического уравнения выражения (4.5). Корнями будут: р₁=0, р₂=-1000, р₃=-498, р_4,5=-12,2j3,94.

Передаточная функция W_HЧ примет вид

(4.6)

Приведя W_HЧ к виду, используемому при построении ЛАЧХ, получим

(4.7)

где

.

ЛАЧХ L_HЧ приведена на рис.4.4. На ней строится резонансный выброс Н₃ (см. [2, 7]) на частоте ₃=1/Т₃ , если ₃ < 0,5.

4.3.4. Строим желаемую ЛАЧХ L_Ж [2,7] с учетом заданных показателей качества и параметров входного сигнала (см. п.4.2). ЛАЧХ L_Ж состоит из 4-х участков: низкочастотного НЧ, среднечастотного СЧ, высокочастотного ВЧ и сверхвысокочастотного СВЧ.

1). Построение НЧ участка. Форма L_Ж на НЧ участке определяется требованием точности  с учетом параметров и входного сигнала. Сначала определяем базовую частоту

. (4.8)

Затем находим координаты контрольной точки К:

(4.9)

НЧ участок состоит из двух отрезков прямых, проходящих через контрольную точку К так, как показано на рис.4.4. Ниже построенных прямых находится запретная область (заштрихованная). Если L_HЧ проходит через запретную область, то заданная точность  в следящем режиме не будет обеспечена и, поэтому, необходимо вводить корректирующее устройство КУ1.

2). Построение СЧ участка. Форма L_Ж на CЧ участке определяется требованием обеспечения заданного показателя колебательности М с учетом параметров и входного сигнала. СЧ участок состоит из одного отрезка с наклоном –1. Границы отрезка по оси частот определяются двумя частотами сопряжения _ и которые определяются через постоянные времени

(4.10)

Частоты сопряжения СЧ участка

(4.11)

В диапазоне частот СЧ участка проверяется то, чтобы резонансный Н₃

выброс ЛАЧХ L_НЧ не заходил в запретную область (заштрихована).

3). Построение ВЧ участка. ВЧ участок влияет только на показатель колебательности М, располагается в диапазоне частот от до граничной _ГР, равной _ГР40₀=4022,7=910, и должен состоять из одного отрезка с наклоном -2. Однако с целью получения наиболее простой схемы корректирующего устройства КУ1 нужно ввести на ВЧ участке дополнительные изломы, повторяющие все изломы ЛАЧХ L_НЧ в диапазоне частот от до _ГР, с последующим пересчетом частоты . В нашем примере нужно повторить излом на частоте ₂ с одновременным пересчетом постоянной времени и частоты сопряжения правого конца СЧ участка [2, 7]:

(4.12)

4). Построение СВЧ участка. СВЧ участок располагается правее частоты _ГР. Он не влияет ни на один показатель качества и его форма определяется только требованиями получения наиболее простой схемы корректирующего устройства КУ1. Упрощение схемы КУ1 достигается при условии, что желаемая ЛАЧХ L_Ж будет повторять все наклоны ЛАЧХ L_НЧ

4.3.5. Расчет передаточной функции W_КУ1 . Если бы ЛАЧХ L_НЧ везде совпала бы с желаемой ЛАЧХ L_Ж , то корректирующего устройства не потребовалось. Ясно, что вероятность такого совпадения бесконечно мала. Поэтому, в общем случае, требуется введение корректирующего устройства, которое обеспечит работу СС с желаемой ЛАЧХ, что гарантирует выполнение заданных в проекте показателей качества при заданных изменениях входного сигнала (см. п.4.2). Так как КУ1 соединен последовательно с неизменяемой частью СС, то

откуда (4.13)

Для подстановки в выражение (4.13) используем следующее выражение W_HЧ:

(4.14)

Использование в расчетах выражения (4.14) взамен точного выражения (4.7) позволяет упростить расчет электрической схемы корректирующего устройства КУ1.

Выражение желаемой передаточной функции W_Ж определяем исходя из формы построенной на рис.4.4 желаемой ЛАЧХ L_Ж., а именно, наклоном 1-го участка ЛАЧХ, частотами сопряжения и наклоном отдельных участков. Имеем следующую желаемую передаточную функцию

(4.15)

Для расчета k_Ж используем приближенное выражение W_Ж, соответствующее 1-му участку L_Ж:

откуда следуют АЧХ и ЛАЧХ (4.16)

Подставляем в выражение L_Ж координаты контрольной точки, которая лежит на 1-м участке

и , откуда находим (4.17)

Выполнив деление в соответствии с (4.13), получим

(4.18)

В выражении (4.18) при правильно выполненных расчетах в числителе и знаменателе должны быть только скобки-двухчлены, причем в равном количестве в числителе и знаменателе. Скобки числителя и знаменателя нужно объединить в простейшие дроби, руководствуясь правилом: различие в значениях постоянных времени, входящих в числитель и знаменатель, должно быть минимальным. Это правило гарантирует получение минимальной по числу элементов схемы КУ1.

4.3.6. Составление электрической схемы КУ1 и расчет ее элементов. Схема КУ1 будет состоять из последовательно соединенных простейших блоков, каждый из которых реализует одну из простейших дробей выражения (4.18) с точностью до постоянного множителя. Следовательно, для рассматриваемого примера будет последовательное соединение 3-х блоков Б1, Б2 и Б3. Передаточные функции блоков и КУ1 связаны соотношением

, (4.19)

где (4.20)

k_Б1 , k_Б2 и k_Б3 - коэффициенты передачи отдельных блоков;

k_УН – коэффициент передачи усилителей напряжения, включаемых последовательно с указанными блоками, с помощью которых будет обеспечен k_КУ1=280 - общий коэффициент передачи КУ1; значение k_УН определяется выражением

(4.21)

Блоки КУ1 реализуем на основе операционных усилителей. Блоки выполняем по схемам, содержащим пассивные цепи с согласующим усилителем. Вид пассивной цепи, содержащей резисторы и конденсаторы, определяется соотношением постоянных времени числителя и знаменателя передаточной функции блока.

Принципиальная электрическая схема КУ1 приведена на рис.4.5.

1). Реализация блока Б1. Передаточная функция W_Б1 блока реализуется интегродифференцирующим звеном на элементах R1, C1 и R2 с преобладанием интегральной части, так как постоянная времени знаменателя W_Б1 больше постоянной времени числителя. Резистор R3 шунтирует указанное звено. Шунтированием можно пренебречь, если сопротивление резистора R3 принять . При этом условии передаточная функция звена будет следующей

(4.22)

Из сопоставления выражений для W_Б1, приведенных в (4.20) и (4.22) следует система уравнений

(4.23)

Для расчета 3-х переменных - R₁, C₁ и R₂ - имеются только 2 уравнения (4.23). Такую систему можно решить, если задать значение любой переменной. Целесообразно задать емкость конденсатора из стандартного ряда значений, так как на практике всегда сложнее подобрать конденсатор требуемой емкости. Итак, задаемся C₁=0,1 мкФ=10^-7Ф. Используя уравнения системы (4.23), находим

R₂=0,092/С₁=920 кОм, R₁=0,5/С₁- R₂=4,08 МОм (4.24)

Также рассчитываем сопротивление R₃ резистора R3

МОм (4.25)

Для установки в схему принимаем сопротивления со стандартными значениями из ряда Е24*:

R₂ =910 кОм, R₁=3,9 МОм, R₃=7,5 МОм (4.26)

2). Реализация блока Б2. Передаточная функция W_Б2 блока реализуется дифференциально-интегрирующим звеном на элементах R6, C2 и R7 с преобладанием дифференциальной части, так как постоянная времени числителя W_Б2 больше постоянной времени знаменателя. Резистор R8 шунтирует указанное звено. Шунтированием можно пренебречь, если сопротивление резистора R8 принять R₈>> R₇. При этом условии передаточная функция звена будет следующей

_________________________________________________________________________________________________________

*Примечание: Величины сопротивлений резисторов ряда Е24 имеют следующие значения в Омах, умноженные на целую степень числа 10: 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 43, 47, 51, 56, 62, 68, 75, 82, 91. Подчеркнутые числа соответствуют значениям ряда Е12, которые применимы к стандартным емкостям конденсаторов.

(4.27)

Из сопоставления выражений для W_Б2, приведенных в (20) и (26) следует система уравнений

(4.28)

Для расчета 3-х переменных - R₆, C₂ и R₇ - имеются только 2 уравнения. Задаемся значением емкости С₂=0,1 мкФ=10^-7 Ф конденсатора С2 и затем вычисляем согласно (4.28) сопротивления резисторов

R₇=110 кОм, R₆=0,78 МОм и R₈=10·R₇=10·110=1,1 МОм (4.29)

Принимаем стандартные значения сопротивлений резисторов и вычисляем k_Б2

R₇=110 кОм, R₆=750 кОм, R₈=1,1 МОм и k_Б2=0,13 (4.30)

3). Реализация блока Б3. Передаточная функция W_Б3 блока реализуется дифференциально-интегрирующим звеном на элементах R11, C3 и R12 с преобладанием дифференциальной части, так как постоянная времени числителя W_Б3 больше постоянной времени знаменателя. Резистор R13 шунтирует указанное звено. Шунтированием можно пренебречь, если сопротивление резистора R13 принять R₁₃>> R₁₂. При этом условии передаточная функция звена будет следующей

(4.31)

Приняв С₃=0,1 мкФ=10^-7 Ф и выполнив расчеты, получим:

R₁₂=11 кОм, R₁₁=750 МОм, R₁₃=110 кОм и k_Б3=0,0144 (4.32)

4). Реализация усилителей напряжения. Для усиления напряжения используются операционные усилители ОУ1…ОУ4. Необходимый коэффициент усиления согласно (4.21) равен

(4.33)

Коэффициенты усиления схем на операционных усилителях определяются выражением

(4.34)

где для ОУ1…ОУ4

При расчетах сопротивлений резисторов R_OC и R_BX нужно учитывать [3,8]:

a). Минимальные значения сопротивлений R₃, R₈ и R₁₃. (см. п.1…3).

b). Коэффициенты усиления отдельных каскадов должны быть не выше ука-

занных в паспортных данных выбранных ОУ. Если таких данных нет, то можно принять k_ОУMAX =100. Отсюда следуют неравенства

R_OC k_ОУMAX R_BX (4.35)

c). Сопротивления всех резисторов, подключенных непосредственно к входам ОУ, не должны быть слишком большими, так как "при больших сопротивлениях ухудшаются динамические характеристики и помехоустойчивость усилителя, а также происходит смещение нуля усилителя сверх допустимых значений" [5, 8]. Для большинства современных ОУ должно быть

R_OC ,R_BX 1 МОм (4.36)

d). Дополнительно к указанным ограничениям при расчетах R_OC и R_BX нужно учитывать предельную нагрузочную способность ОУ. Для большинства современных ОУ минимальное сопротивление нагрузки составляет 2 кОм [5]. Значит, подключаемые к выходам ОУ пассивные цепи должны иметь в установившихся и переходных режимах сопротивление не менее 2 кОм. Для рассчитываемой схемы это будет выглядеть следующим образом (считаем, что в переходных режимах конденсаторы пассивных цепей представляют собой перемычки):

R₈||R₇||R₅2 кОм, R₁₃||R₁₂||R₁₀2 кОм, R₁₆||R₁₅2 кОм, (4.37)

где || - знак параллельного соединения сопротивлений.

Проанализируем рассчитанные выше пассивные цепи КУ1 с учетом перечисленных требований-ограничений:

- элементы блока 1 нужно пересчитать, так как сопротивление R₃=7,5 МОм резистора R3 слишком большое, что противоречит п. с);

- элементы блока 2 нужно пересчитать, так как сопротивление R₈=1,1 МОм резистора R8 слишком большое, что противоречит п. с);

- элементы блока 3 пересчитывать не надо, так как сопротивление резистора R13 находится в допустимых пределах R₁₃=0,11 МОм и коэффициент усиления схемы на ОУ3 равен

(4.38)

Пересчитываем элементы пассивных цепей и рассчитываем элементы усилителей на базе ОУ1 и ОУ2.

Пересчет элементов блока Б1. Увеличиваем емкость конденсатора С1 в 390 раз: С₁=39 мкФ (это стандартное значение емкости из ряда Е12, причем элементы ряда Е12 отмечены подчеркиванием в примечании к п.1). Тогда сопротивления резисторов R1, R2 и R3 нужно уменьшить также в 390 раз: R₁=10 кОм, R₂=2,4 кОм и R₃=20 кОм. При максимально допустимом значении R₅=1 МОм коэффициент усиления ОУ1 будет равен

(4.39)

Пересчет элементов блока Б2. Увеличиваем емкость конденсатора С2 в 47 раз: С₂=4,7 мкФ. Тогда сопротивления резисторов R6, R7 и R8 нужно уменьшить также в 47 раз: R₆=16 кОм, R₇=2,4 кОм и R₈=2,4 кОм. При максимально допустимом значении R₁₀=1 МОм коэффициент усиления ОУ2 будет равен

(4.40)

Общий коэффициент усиления схем на ОУ1…ОУ3 составляет

k_{ОУ1…ОУ3}=k_ОУ1·k_ОУ2·k_ОУ3=50·41,7·9,1=18974, (4.41)

что меньше требуемого (4.33). Поэтому вводим дополнительно усилитель на базе ОУ4.

Расчет усилителя на ОУ4. Требуемый от усилителя на ОУ4 коэффициент усиления должен быть равным

(4.42)

Задаемся сопротивлением R₁₆=13 кОм. Вычисляем сопротивление

R₁₈=k_ОУ4 R₁₆=7,913=102,5 кОм (4.43)

Принимаем стандартное значение R₁₈=100 кОм.

Проверка сопротивлений R_H нагрузки ОУ1…ОУ4

(4.44)

Расчет сопротивлений заземления прямых входов ОУ1…ОУ4. Прямые входы ОУ1…ОУ4 заземляются через резисторы, что позволяет повысить температурную стабильность работы усилителей. Величина сопротивления заземляющего резистора выбираются и условия равенства активных проводимостей цепей на постоянном токе, подсоединенных к прямому и инверсному входам ОУ, т.е.

g_ПР =g_ИНВ (4.45)

Из этого условия имеем:

(4.46)

,

Этим заканчивается расчет электрической схемы КУ1. Далее по результатам расчетов вычерчивается на листе формата А3 принципиальная электрическая схема КУ1, основой для которой является схема на рис.4.4 и которая:

- выполняется в строгом соответствии с требованиями оформления конструкторской документации [1,6] и условными графическими обозначениями ОУ согласно [5];

- содержит цепи питания, частотной коррекции и установки нуля ОУ [5];

- содержит простейшую схему двухполярного источника питания ОУ;

- содержит разъемы платы корректирующего устройства и блока питания;

- содержит перечень элементов в соответствии с требованиями, изложенными в [1,6], (все конденсаторы, входящие в схему КУ1, должны быть неполярными и, поэтому, рассчитаны на работу в цепях переменного тока).