Теорема 6

Нехай точка – точка екстремуму диференці-йованої функції Тоді частинні похідні в цій точці дорівнюють нулеві.

Означення 26. Точки в яких та дорівнюють нулеві називаються стаціонарними (або критичними).

Враховуючи, що частинні похідні є координатами градієнта функції Z, можна сказати, що в точках екстремуму диференційованої функції її градієнт дорівнює нулеві, тобто

Приклади 17-18

Дослідити на екстремум функції.

17.

Розв’язання

Знайдемо частинні похідні і прирівняємо їх до нуля:

.

Звідки Оскільки то в стаціонарній точці буде досягатись мінімум функції, як це видно із рис. 5.

Рис. 5

18.

Розв’язання

Із необхідних умов екстремуму знайдемо критичну точку . Але критична точка не є ні точкою максимуму ні точкою мінімуму, тому що в точці функція набуває вигляду а при і в околі точки поверхня сильно відрізняється за своїм виглядом від “шапочки” та перевернутої “шапочки”. У критичній точці ніякого екстремуму немає, ця точка називається сідловою, а поверхня функції – сідловою поверхнею. Такі сідлові точки є двовимірними аналогами точок перегину функції однієї змінної і для того, щоб відділити їх від точок екстремуму теж потрібні достатні умови екстремуму. Достатні умови екстремуму функцій двох змінних сформулюємо в термінах других частинних похідних.

Теорема 7

(достатні умови екстремуму функцій двох змінних)

Нехай в околі критичної точки функція має неперервні частинні похідні до другого порядку включно,

.

тоді:

1. Має максимум, якщо або

2. Має мінімум, якщо або

3. Не має екстремуму, якщо

Якщо тоді екстремум в точці може існувати, а може і не існувати і для його визначення потрібно використовувати іншу ознаку.

Приклади 19-20

Дослідити на екстремум такі функції.

19. .

Розв’язання

Знайдемо критичні точки, обчисливши частинні похідні Критична точка . Запишемо достатні умови екстремуму: Тоді . Таким чином функція екстремуму в точці (0,0) не має.

20. .

Розв’язання

Спочатку знайдемо критичну точку із системи:

=> =>

Тоді . Запишемо достатні умови екстремуму:

.

Таким чином у точці функція має мінімум.

9.2. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області

Теорема 8. Якщо функція неперервна в замкненій області , то вона приймає свої найбільше та найменше значення в точках області .

Згідно цієї теореми потрібно знайти точки екстремуму функції , що лежить всередині , екстремальні значення функції в цих точках, значення функції на границі і вибрати серед них відповідно найбільше та найменше значення.

Приклад 21

Знайти найбільше та найменше значення функції в області обмеженій лініями , що являє собою чотирикутник.

Розв’язання

Знайдемо критичні точки всередині області, записавши необхідні умови екстремуму:

Таким чином, критична точка В ній

Дослідимо тепер функцію на екстремум на границі чотирикутника:

а) б) в) г) Відмітимо, що у випадках а), б), в), г) вершини чотирикутника враховуються лише один раз.

а) У цьому випадку Z буде функцією однієї змінної y, тому маємо Дослідимо цю функцію на екстремум на замкненому відрізку Знайдемо , звідки , Отже, і в ній Знайдемо значення функції на кінцях проміжку тобто в точках та ,

б) Аналогічно попередньому досліджуємо на екстремум функцію на проміжку Тому , і критична точка нe належить проміжку , тобто В кінці проміжку в точці знайдемо

в) Аналогічно випадку б) , і тому , Точка , на кінці проміжку в точці маємо

г) У цьому випадку і тому маємо . Критична точка Отже

Виберемо тепер серед точок ті, в яких функція приймає найбільше та найменше значення. Це будуть точки та , в яких