
- •Інститут економіки та нових технологій Кафедра прикладної математики та математичного моделювання
- •Передмова
- •І. Основні питання, що вивчаються в розділі „Функції багатьох змінних ”
- •Поняття функції багатьох змінних.
- •1.3. Послідовності точок в .
- •1.4. Означення функції багатьох змінних.
- •9.2. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області. Іі. Основні теоретичні відомості. Приклади розв’язання задач
- •1. Поняття функції багатьох змінних
- •1.1. Евклідовий простір ( )
- •1.2. Множини точок в ( ).
- •1.3. Послідовності точок в ( )
- •Теорема 1
- •1.4. Означення функції багатьох змінних
- •Приклад 4
- •Розв’язання
- •Приклад 5
- •Розв’язання
- •3. Границя та неперервність функцій багатьох змінних
- •3.1. Границя функцій багатьох змінних
- •2.2. Неперервність функції багатьох змінних
- •Теорема 3
- •Теорема 4
- •3. Частинні похідні функції багатьох змінних
- •Приклади 10-11
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Приклад 12
- •Розв’язання
- •4. Диференціал функції та його використання
- •Теорема 5
- •Приклад 13
- •Розв’язання
- •Приклад 14
- •Розв’язання
- •5. Диференціювання неявних функцій
- •6. Похідна за напрямом. Градієнт
- •Якщо використати теорему Лагранжа, то неважко показати, що (24)
- •Приклад 15
- •Розв’язання
- •7. Частинні похідні вищих порядків
- •Приклад 16
- •Розв’язання
- •8. Застосування частинних похідних в економічних задачах
- •9. Екстремум функції багатьох змінних
- •9.1. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •Теорема 6
- •Приклади 17-18
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Має максимум, якщо або
- •Має мінімум, якщо або
- •Не має екстремуму, якщо
- •9.2. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області
- •Приклад 21
- •Розв’язання
- •Ііі. Завдання для контрольної роботи. Завдання 1
- •Варіанти завдань:
- •Завдання 2.
- •Варіанти завдань:
- •Іv. Список використаної та рекомендованої літератури
Теорема 5
Якщо
частинні похідні функції
існують в околі точки
і неперервні в самій точці
,
то функція
,
диференційована в цій точці.
Приклад 13
Знайти
диференціал функції:
Розв’язання
Знайдемо частинні похідні
,
Як і для функції однієї змінної співвідношення (18) дозволяє знаходити наближене значення функції двох змінних. Дійсно оскільки
тому в силу (14)
.
(21)
Формула (21) і дозволяє знаходити наближене значення функції двох змінних.
Зауваження
Формула (21) показує
що заміна повного приросту функції її
повним диференціалом привела до заміни
функції
в
околі точки
лінійною функцією відносно
та
оскільки
Геометрично це означає
що частина поверхні
замінюється відповідною частиною
дотичної площини до поверхні в точці
Приклад 14
Знайти наближене значення функції:
в
точці
.
Розв’язання
Тут
Послідовно обчислимо:
За
формулою (21), враховуючи, що
дістанемо:
5. Диференціювання неявних функцій
Якщо
рівняння
,
де
– диференційована функція змінних x
і y,
визначає y
як функцію від x,
то похідну цієї неявно заданої функції
(за умовою, що
)
можна знайти за формулою
.
Похідні вищих порядків знаходяться
послідовним диференціюванням отриманої
формули.
Аналогічно,
якщо рівняння
,
де
– диференційована функція змінних x,
y,
z,
визначає z
як функцію незалежних змінних x
та y
і
,
то частинні похідні цієї функції можна
знаходити за формулами:
6. Похідна за напрямом. Градієнт
Нехай
функція
визначена в деякому околі точки
,
a
– напрямок, що задається одиничним
вектором
,
де
- кути, які утворює вектор
з осями координат.
Якщо
точка
перейде по напряму
в точку
,
то функція
одержить приріст у напрямі
,
тобто
.
(22)
Оскільки
то очевидно (див. Рис.3), що
,
.
Рис.3.
Тому приріст функції у даному напрямі перепишемо у вигляді:
.
Означення
22.
Похідною
за напрямом
функції двох змінних
називається границя відношення приросту
функції в цьому напрямі до величини
переміщення
при прямуванні її до нуля, тобто
.
(23)
Похідна – характеризує швидкість зміни функції в напрямі .
Зрозуміло,
що частинні похідні
та
є похідні за напрямами паралельними
осям Ox
та Оy
відповідно.
Якщо використати теорему Лагранжа, то неважко показати, що (24)
Означення
23.
Градієнтом
функції
називається
вектор
з координатами
.
Враховуючи,
що
,
праву частину (24) можемо записати у
вигляді
скалярного добутку:
.
(25)
Звідси
випливає, що похідна за напрямом є
скалярний добуток градієнта
і одиничного вектора, який задає напрям
.
Скалярний
добуток двох векторів (25) максимальний,
якщо вони мають однаковий напрям. Тому
градієнт
функції
в даній точці характеризує напрям
максимальної швидкості зміни функції
в цій точці.
Градієнт записують через його координати
,
а
його довжина
дає
величину максимальної швидкості зміни
функції в точці
.