2.2. Неперервність функції багатьох змінних

Означення 15. Функція називається неперервною в точці , якщо має місце рівність або при довільному прямуванні . В протилежному випадку кажуть, що функція має розрив у точці .

Означення 16. Функція називається неперервною на множині Х, якщо вона неперервна в будь-якій точці цієї множини.

Введемо тепер поняття повного приросту функції багатьох змінних.

Означення 17. Повним приростом функції в точці називається число, яке визначається за формулою , де М довільна точка області визначення Х .

Якщо ввести відповідні прирости змінних , то можемо переписати приріст у вигляді .

Останнє представлення зручне для визначення неперервності функції в точці через прирости (на мові приростів).

Означення 18. Функція називається неперервною в точці , якщо її повний приріст в цій точці є нескінченно малою величиною при , тобто

Якщо функція неперервна в області Х та на її границі , то кажуть, що вона неперервна в замкненій області .

Для функцій багатьох змінних справедливі такі важливі теореми.

Теорема 3

Якщо неперервна числова функція від 2-х (3-х) змінних задана на обмеженій замкненій множині , то вона обмежена на цій множині.

Теорема 4

Якщо неперервна числова функція від 2-х (3-х) змінних задана на обмеженій замкненій множині ( ), то вона набуває в точках області найбільшого та найменшого значення.

3. Частинні похідні функції багатьох змінних

Нехай аргументи функції двох змінних одержать прирости відповідно. Тоді, як відомо (п.2.2), функція одержить приріст

, (14) який назвемо повним приростом функції в точці . Якщо приріст одержить тільки аргумент при фіксованому , або – при фіксованому , то відповідні їм прирости функції будуть:

(15)

Прирости (15) назвемо частинними приростами функції.

Приклади 10-11

Знайти частинні та повний прирости функцій:

10. .

Розв’язання

Очевидно, що

11. .

Розв’язання

, ,

, .

З наведених прикладів випливає, що у загальному випадку повний приріст функції не дорівнює сумі частинних, тобто

(16)

Означення 19. Якщо існує границя,

відношення частинного приросту функції до приросту відповідної незалежної змінної, незалежна від способу прямування , то її називають частинною похідною першого порядку функції по змінній і позначають:

або

.

Таким чином, при знаходженні частинної похідної по змінній аргумент вважаємо постійною величиною і для її знаходження слід користуватись правилами диференціювання функції однієї змінної.

Приклад 12

Знайти частинні похідні функції .

Розв’язання

При фіксованому а при фіксованому –

4. Диференціал функції та його використання

Узагальнимо визначення диференціалу функції для функції двох змінних. Нехай функція в області визначення Х неперервна і має частинні похідні . Візьмемо в Х довільну точку і надамо аргументам та прирости та відповідно.

Тоді повний приріст (14) можна записати таким чином

де у двох квадратних дужках записано приріст функції тільки відносно одного аргументу х та . Використовуючи формулу Лагранжа до кожної дужки, одержимо:

(17)

де .

Якщо частинні похідні першого порядку неперервні в точці , то (17) можна представити у вигляді:

, (18)

де та нескінченно малі при .

Означення 20. Диференціалом функції називається головна лінійна відносно та частина повного приросту функції , тобто

. (19)

Враховуючи, що для та згідно (19) та , формулу диференціалу (19) можна записати у вигляді:

(20)

або

.

Означення 21. Функція називається диференційованою в точці , якщо її повний приріст може бути подано у вигляді:

,

де .

Можна довести, що якщо повний приріст функції геометрично є приріст аплікати поверхні , то диференціал функції є приріст аплікати дотичної площини до поверхні в даній точці, коли змінні та отримують приріст та .

Зауважимо, що для функції однієї змінної існування скінченої похідної і представлення приросту у виді є рівнозначні твердження. Для функцій кількох змінних існування частинних похідних є необхідна умова для диференційованості функції . Достатні умови диференційованості сформульовані у наступній теоремі.