1.2. Множини точок в ( ).

Множини точок із ( ) будемо позначати або .

Наведемо приклад таких множин. Нехай задана точка . Множина Х можливих точок, координати яких задовольняють нерівності:

(3)

(4)

називається кругом (кулею) радіуса з центром в точці і позначається .

Враховуючи (2) нерівності (3) – (4) можемо записати у вигляді:

(5)

У випадку, коли в (5) виконується строга нерівність , (6)

множина називається відкритим кругом (кулею) і позначається .

Означення 2. Відкриту множину будемо називати -околом, яку зображено на Рис. 1.

Означення 3. Точка називається внутрішньою точкою множини , якщо для цієї точки існує деякий -окіл, всі точки якого належать .

Означення 4. Точка називається граничною точкою множини , якщо в будь-якому її -околу знаходяться, як точки які належать так і такі, які множині не належать.

Означення 5. Множина називається відкритою, якщо всі її точки внутрішні.

Означення 6. Множина називається замкненою, якщо всі граничні точки цієї множини належать їй. Вона позначається . Множина всіх граничних точок позначається . Отже .

1.3. Послідовності точок в ( )

Нехай кожному числу ставиться у відповідність точка із . Пронумерований ряд точок називається послідовністю точок евклідового простору і позначається .

Означення 7. Послідовність точок називається збіжною до границі А, якщо для будь-якого можна вказати номер такий, що для всіх відповідні точки послідовності будуть знаходитись в - околі точки А, тобто .

Число А називається границею послідовності . Цей факт записують так:

або при .

Легко встановити, що для збіжних послідовностей справедлива теорема 1.

Теорема 1

Для того, щоб послідовність точок збігалась до точки необхідно і достатньо, щоб послідовності координат , збігались до відповідних координат , точки А, тобто

при ,

при .

1.4. Означення функції багатьох змінних

Означення 8. Якщо кожній точці за деяким законом ставиться у відповідність єдине число z із числової множини , то кажуть, що задана функція двох (трьох) змінних .

Наведемо також означення для функцій змінних. Аналогічно , через , позначимо координатний простір точок відстань між якими визначається за формулою:

, (7)

Означення 9. Нехай є n незалежних числових величин ..., із деякої множини X. Якщо кожному набору n змінних відповідає одне цілком певне значення змінної числової величини , то кажуть, що задана функція кількох змінних

.

Її позначають ще й так , де M=M ( ..., ) . Незалежні змінні ..., рівноправні і називаються аргументами, або незалежними змінними, -залежною змінною, а символ f – означає закон відповідності. Множина X називається областю визначення функції.

Очевидно, що це підмножина n-мірного простору . Границю області X також будемо позначати , тоді буде замкненою областю. Якщо функція визначена у області X і на її границі, то кажуть, що вона визначена в

Приклади 1- 3

Знайти область визначення функцій.

1. .

Розв’язання

а) Область визначення задається умовою: або , яка визначає собою круг радіуса 4 з центром в точці з координатами . Тому ;

2. .

Розв’язання

Областю визначення функції трьох змінних буде множина точок Рівність є рівнянням сфери радіуса R з центром у точці . Отже, одержане вище рівняння означає, що областю визначення функції u буде куля радіуса 3 з центром у точці P(-5,4,1).

Отже, ;

3. .

Розв’язання

Область визначення – це множина точок для яких , тобто . Геометрично це координатна площина за виключенням координатних прямих.

Зауваження. Оскільки всі поняття та теореми для n=2 дозволяють використовувати наглядну геометричну інтерпретацію i легко переносяться на випадок n>2, то надалі розгляд будемо проводити для n=2. Тоді для функції двох змінних, яку будемо позначати , (8)

область визначення X буде підмножиною координатної площини xOy, тобто .

Означення 10. Лінією рівня С функції у площині xOy називається сукупність всіх пар (x, y) таких, що .

Таким чином, у всіх точках (x, y), які належать лінії рівня q частинне значення функції одне і теж число q. Множина всіх ліній рівня називається картою ліній рівня. Лінії рівнів широко використовуються у топографії, геодезії, картографії та економіці (криві байдужості).