Приклад 10

Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння , який задовольняє даним початковим умовам: .

Розв’язання

,

тоді .

Підставляючи послідовно в отримані рівності початкові умови, знайдемо С₁ та С₂:

;

Частинним розв’язком диференціального рівняння, який задовольняє даним початковим умовам, є .

4. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

4.1. Однорідні лінійні диференціальні рівняння

Означення 8. Однорідні лінійні диференціальні рівняння другого порядку – це рівняння, що мають такий вигляд: , (4.1)

де у = у(х) – невідома функція, а, b, с - сталі коефіцієнти.

Для його розв’язання складаємо характеристичне рівняння, яке відповідає цьому диференціальному рівнянню: . (4.2)

Залежно від коренів характеристичного рівняння (4.2) загальний розв’язок шукаємо у вигляді:

- дійсні
k1=k2=k - дійсні
k1,2= – (комплексн.)

(4.3)

Приклад 11

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння .

Розв’язання

Складаємо характеристичне рівняння даного диференціального рівняння та знаходимо його корені:

– не рівні дійсні корені, тому розв’язок, згідно з таблицею (4.3), має вигляд: .

Приклад 12

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння .

Розв’язання

Складаємо характеристичне рівняння даного диференціального рівняння та знаходимо його корені: – рівні дійсні корені, тому розв’язок, згідно з таблицею (4.3), має вигляд: .

Приклад 13

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння .

Розв’язання

Складаємо характеристичне рівняння даного диференціального рівняння та знаходимо його корені:

.

Таким чином, , .

Отримуємо: .

4.2. Неоднорідні лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами та спеціальною правою частиною

Неоднорідне рівняння має вигляд: (4.4)

Його розв’язком y = y(x) буде сума: , де – загальний розв’язок відповідного однорідного диференціального рівняння , – частинний розв’язок неоднорідного рівняння (4.4), вигляд якого визначається залежно від вигляду правої частини f(x) рівняння (4.4) згідно з таблицею (4.5):

	Корені характ. рівн.	Частинний розв’язок
		- многочлен степеня n.

Приклад 14

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння: .

Розв’язання

1. Запишемо однорідне рівняння, яке відповідає даному диференційному рівнянню, та знайдемо його загальний розв’язок , .

2. f(x) = – многочлен 2-го степеня, тому частинний розв’язок , згідно з таблицею (3.5), шукаємо у вигляді: ,

Знаходимо коефіцієнти А, В, С.

Оскільки ліва частина даного диференціального рівняння містить першу та другу похідні , , знаходимо та :

.

Підставимо в дане рівняння знайдені похідні та :

,

.

3. Якщо рівні многочлени, то рівні й коефіцієнти при однакових степенях х, тобто:

при: , звідки:

Частинний розв’язок: .

4. Загальний розв’язок запишемо таким чином: + .

Відповідь: + .