- •Інститут економіки та нових технологій Кафедра прикладної математики та математичного моделювання
- •Наклад 200 примірників Передмова
- •І. Основні питання, що вивчаються в розділі „Диференціальні рівняння”.
- •Іі. Основні теоретичні відомості. Приклади розв’язання задач
- •1. Основні поняття. Задача Коші
- •2. Диференціальні рівняння 1-го порядку та способи їх розв’язання
- •Теорема 1 (Коші)
- •2.1. Диференціальні рівняння із змінними, які розділяються
- •Приклад 1
- •Розв’язання
- •Приклад 2
- •Розв’язання
- •2.2. Однорідні диференціальні рівняння.
- •Приклад 3
- •Розв’язання
- •Приклад 4
- •Розв’язання
- •2.3. Лінійні диференціальні рівняння.
- •3.1. Рівняння вигляду
- •3.2. Рівняння вигляду
- •3.3. Рівняння вигляду
- •Приклад 9
- •Розв’язання
- •Приклад 10
- •Розв’язання
- •4. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •4.1. Однорідні лінійні диференціальні рівняння
- •4.2. Неоднорідні лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами та спеціальною правою частиною
- •Приклад 14
- •Розв’язання
- •Приклад 15
- •Розв’язання
- •Приклад 16
- •Розв’язання
- •5. Системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами
- •Приклад 17
- •Розв’язання
- •Ііі. Завдання для самостійної роботи
- •Іv. Завдання для контрольної роботи Завдання 1
- •Завдання 2
- •Завдання 3
- •Завдання 4
- •Завдання 5
- •Завдання 6
- •Завдання7
- •V. Список використаної і рекомендованої літератури
- •Завдання 1
- •Завдання 2
- •Завдання 3
2. Диференціальні рівняння 1-го порядку та способи їх розв’язання
Означення 3. Диференціальним рівнянням 1-го порядку називають рівняння, що містить невідому функцію та її похідну , тобто , або
Питання про існування розв’язку цих рівнянь вирішується за допомогою теореми Коші.
Теорема 1 (Коші)
Якщо функція та її частинна похідна визначені і неперервні в деякій області G площини Оху, то для будь-якої точки області G в околі цієї точки існує єдиний розв’язок рівняння , що задовольняє початковим умовам .
2.1. Диференціальні рівняння із змінними, які розділяються
Означення 4. Диференціальні рівняння із змінними, які розділяються – це рівняння, які в загальному вигляді завжди можна подати формулою: ,
(2.1)
де функції перед диференціалами dx та dy можуть бути розкладені на множники, кожний з яких залежний тільки від однієї змінної х або у.
Наприклад,
Функції перед dx та dy, розкладаються на множники, кожний з яких залежить тільки від однієї змінної:
Якщо диференціальне рівняння зведене до вигляду (2.1), подальше розділення змінних виконуємо переносом вправо доданку, який містить dx, та діленням рівняння на . Після чого маємо:
Після скорочення: .
Маємо в рівнянні ліву частину, залежну тільки від у, праву частину – тільки від х. Якщо рівні ліва та права частини рівняння, то їх інтеграли також рівні:
.
Приклад 1
Розв’язати диференціальне рівняння:
Розв’язання
Проінтегруємо:
, .
Перенесемо С1 у праву частину: , де С = С1 – С2 .
Отримана рівність містить знайдену функцію у в неявному вигляді та має назву загального розв’язку рівняння.
Отже, розв’язок: .
Довільна стала С набуває всіх значень з множини дійсних чисел (С ). Таким чином, отриманий розв’язок описує нескінченну множину функцій, які відрізняються тільки доданком С.
Приклад 2
Розв’язати рівняння:
Розв’язання
Замінимо , тоді рівняння набуває такого вигляду:
;
;
;
;
Проінтегруємо : .
Маємо: , або , е . Невідома функція знайдена в неявному вигляді. У такому випадку говорять, що знайдено загальний інтеграл рівняння.
Відповідь: е .
Зауваження: приклад 2 – зразок для розв’язання завдання №1 контрольної роботи.
2.2. Однорідні диференціальні рівняння.
Означення 5. Однорідні диференціальні рівняння – це рівняння вигляду: . (2.2)
Приклад 3
Привести диференціальне рівняння до вигляду (2.2): .
Розв’язання
Функцію перед dx не можна розкласти на множники, кожен з яких залежить тільки від однієї змінної х або у. Тому приклад 3 не можна розв’язати як рівняння із змінними, що розділяються.
Приведемо дане рівняння до вигляду (2.2). Перенесемо доданок у праву частину рівняння: .
Поділимо на ліву та праву частини рівняння:
.
Після скорочення маємо: .
Замінимо: . Чисельник та знаменник дробу справа поділимо на . При цьому дріб не зміниться.
= , = .
У правій частині отримали функцію, залежну тільки від , тобто функцію, яку в загальному вигляді можна записати: f .
Метод розв’язання: робимо заміну . Тоді . Знайдемо , а, оскільки , то . У результаті маємо рівняння зі змінними, що розділяються.