2. Диференціальні рівняння 1-го порядку та способи їх розв’язання

Означення 3. Диференціальним рівнянням 1-го порядку називають рівняння, що містить невідому функцію та її похідну , тобто , або

Питання про існування розв’язку цих рівнянь вирішується за допомогою теореми Коші.

Теорема 1 (Коші)

Якщо функція та її частинна похідна визначені і неперервні в деякій області G площини Оху, то для будь-якої точки області G в околі цієї точки існує єдиний розв’язок рівняння , що задовольняє початковим умовам .

2.1. Диференціальні рівняння із змінними, які розділяються

Означення 4. Диференціальні рівняння із змінними, які розділяються – це рівняння, які в загальному вигляді завжди можна подати формулою: ,

(2.1)

де функції перед диференціалами dx та dy можуть бути розкладені на множники, кожний з яких залежний тільки від однієї змінної х або у.

Наприклад,

Функції перед dx та dy, розкладаються на множники, кожний з яких залежить тільки від однієї змінної:

Якщо диференціальне рівняння зведене до вигляду (2.1), подальше розділення змінних виконуємо переносом вправо доданку, який містить dx, та діленням рівняння на . Після чого маємо:

Після скорочення: .

Маємо в рівнянні ліву частину, залежну тільки від у, праву частину – тільки від х. Якщо рівні ліва та права частини рівняння, то їх інтеграли також рівні:

.

Приклад 1

Розв’язати диференціальне рівняння:

Розв’язання

Проінтегруємо:

, .

Перенесемо С₁ у праву частину: , де С = С₁ – С₂ .

Отримана рівність містить знайдену функцію у в неявному вигляді та має назву загального розв’язку рівняння.

Отже, розв’язок: .

Довільна стала С набуває всіх значень з множини дійсних чисел (С ). Таким чином, отриманий розв’язок описує нескінченну множину функцій, які відрізняються тільки доданком С.

Приклад 2

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Замінимо , тоді рівняння набуває такого вигляду:

;

;

;

;

Проінтегруємо : .

Маємо: , або , е . Невідома функція знайдена в неявному вигляді. У такому випадку говорять, що знайдено загальний інтеграл рівняння.

Відповідь: е .

Зауваження: приклад 2 – зразок для розв’язання завдання №1 контрольної роботи.

2.2. Однорідні диференціальні рівняння.

Означення 5. Однорідні диференціальні рівняння – це рівняння вигляду: . (2.2)

Приклад 3

Привести диференціальне рівняння до вигляду (2.2): .

Розв’язання

Функцію перед dx не можна розкласти на множники, кожен з яких залежить тільки від однієї змінної х або у. Тому приклад 3 не можна розв’язати як рівняння із змінними, що розділяються.

Приведемо дане рівняння до вигляду (2.2). Перенесемо доданок у праву частину рівняння: .

Поділимо на ліву та праву частини рівняння:

.

Після скорочення маємо: .

Замінимо: . Чисельник та знаменник дробу справа поділимо на . При цьому дріб не зміниться.

= , = .

У правій частині отримали функцію, залежну тільки від , тобто функцію, яку в загальному вигляді можна записати: f .

Метод розв’язання: робимо заміну . Тоді . Знайдемо , а, оскільки , то . У результаті маємо рівняння зі змінними, що розділяються.