6 Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации

6.1 Контрольные вопросы для экзамена по дисциплине:

1 Семестр:

1. Множества. Операции над множествами. Основные числовые множества, их свойства.

2. Окрестность точки и бесконечности. Свойства окрестностей.

3. Модуль действительного числа и его свойства.

4. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Точная верхняя граница и точная нижняя граница.

5. Функция, основные понятия.

6. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.

7. Предел функции. Геометрический смысл. Односторонние пределы.

8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства б.м.ф. Теорема о связи б.м.ф. и б.б.ф. Теоремы о связи между функцией, ее пределом и б.м.ф.

9. Основные теоремы о пределах. Следствия. Признаки существования пределов.

10. Первый и второй замечательные пределы.

11. Эквивалентные бесконечно малые функции и их применение. Теорема о замене б.м.ф. на эквивалентную. Таблица основных эквивалентных б.м.ф.

12. Непрерывность функции. Точки разрыва функции и их классификация.

13. Свойства функций непрерывных на отрезке.

14. Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл. Необходимое условие существования производной.

15. Правила дифференцирования. Теоремы о производной сложной и обратной функций. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.

16. Производные основных элементарных функций. Производные высших порядков.

17. Дифференциал функции. Свойства дифференциала.

18. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа. Геометрический смысл, следствия.

19. Правила Лопиталя.

20. Асимптоты графика функции. Правила нахождения асимптот.

21. Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия монотонности функции.

22. Максимум и минимум функции. Необходимое и достаточные условия существования экстремумов.

23. Выпуклость функции. Достаточное условие выпуклости функции. Точки перегиба. Достаточное условие существования точек перегиба.

24. Общая схема исследования функции и построение графика.

25. Определение функции п переменных, примеры, геометрическое истолкование. Определение линии уровня функции.

26. Определение предела функции в точке. Определение непрерывной функции.

27. Частные производные функции, геометрический смысл.

28. Определение дифференцируемой функции в точке. Дифференциал функции. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции.

29. Теорема о производной сложной функции.

30. Производная функции по направлению вектора, геометрический смысл. Теорема о вычислении производной по направлению.

31. Градиент функции. Вычисление производной по направлению через вектор градиента. Теорема о направлении градиента функции к линии уровня.

32. Экстремумы функции многих переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремумов.

2 Семестр:

1. Первообразная функции, геометрический смысл. Теорема об общем виде первообразной.

2. Неопределенный интеграл, свойства, таблица неопределенных интегралов.

3. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Теорема о линейной замене переменной.

4. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Типы интегралов, интегрируемых по частям.

5. Интегрирование рациональных и тригонометрических функций.

6. Определенный интеграл, интегральная сумма, свойства.

7. Геометрический смысл определенного интеграла.

8. Формула Ньютона-Лейбница.

9. Метод замены переменной в определенном интеграле.

10. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.

11. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода, геометрический смысл.

12. Приложения определенного интеграла.

13. Понятие двойного интеграла. Повторные интегралы.

14. Вычисление двойных интегралов в случаях прямоугольной области.

15. Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойных интегралов.

16. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, геометрический смысл решений. Теорема Коши. Общее и частное решения уравнения. Задача Коши.

17. Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка с разделяющимися переменными.

18. Решение однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка.

19. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнения Бернулли.

20. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижения порядка.

21. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Решение ЛОДУ 2-го порядка. Теорема об общем решении ЛОДУ 2-го порядка.

22. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Теорема об общем решении ЛНДУ 2-го порядка. Построение частного решения ЛНДУ со специальной правой частью и методом вариации произвольных постоянных.

23. Числовой ряд, сходимость и расходимость ряда, сумма ряда, свойства рядов. Эталонные ряды.

24. Необходимый признак сходимости числового ряда. Следствие.

25. Достаточные признаки сходимости рядов: признак Даламбера; радикальный и интегральный признаки Коши; признаки сравнения.

26. Знакопеременный ряд. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Абсолютная и условная сходимость.

27. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница. Остаток ряда. Оценка остатка ряда с помощью признака Лейбница.

28. Функциональный ряд. Область сходимости функционального ряда.

29. Степенной ряд. Интервал и радиус сходимости. Теорема Абеля. Нахождение радиуса сходимости с помощью признака Даламбера.

30. Свойства степенных рядов.

31. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Разложение функций в степенные ряды.