3.3.4. Теорема о движении центра масс системы

Центром масс механической системы (ЦМ) называется геометрическая точка , положение которой в пространстве определяется зависимостью

; (61)

где - радиус-вектор некоторой -ой точки системы относительно системы координат ;

- масса системы, равная сумме масс всех ее точек;

- радиус-вектор центра масс .

Координаты этой точки будут соответственно равны

. (62)

Поскольку массы пропорциональны весам, то формулы (62) можно записать в виде

. (63)

Здесь - вес -ой точки системы;

- вес системы, равный сумме весов всех точек.

Известно, что формулы (63) определяют в то же время координаты центра тяжести (ЦТ) твердого тела. Следовательно, центр масс системы и центр тяжести тела , совпадают, что не означает, однако, тождественности этих понятий. Понятие центра тяжести имеет смысл лишь для твердого тела, или какой-либо другой неизменяемой механической системы, находящейся в поле сил тяготения; в то время как понятие центра масс справедливо для любой механической системы и не связано с действующими на нее силами. Центр тяжести тела не существует в невесомости , тогда как центр масс существует.

Перепишем формулу (61) в виде:

.

Учитывая, что система находится в состоянии движения и поэтому , , продифференцируем обе части этого равенства по времени:

,

или . (64)

Следовательно, количество движения механической системы определяется как произведение массы системы на скорость ее центра масс.

Из уравнения (64) видно, что количество движения системы можно рассматривать как меру поступательного движения системы вместе с ее центром масс. Поскольку масса систем обычно считается постоянной, то модули векторов и пропорциональны, а их направления совпадают.

Дифференцируя по времени соотношение (64), получим:

, или с учетом , , окончательно будем иметь . (65)

Уравнение (65), имеющее форму основного уравнения динамики материальной точки, выражает теорему о движении центра масс системы: центр масс механической системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и на которую действуют все внешние силы, приложенные к системе.

Проектируя обе части уравнения (65) на оси координат , имеем

. (66)

Из доказанной теоремы вытекают следующие следствия:

1) Пусть ; тогда согласно (65) и .

Если сумма всех действующих на систему внешних сил тождественно равна нулю, то центр масс системы либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно.

2) Пусть ; тогда согласно первому уравнению системы (66)

и, следовательно, .

Если сумма проекций внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту ось сохраняется неизменной.

Из рассмотренных выше двух общих теорем динамики видно, что они, по существу, представляют собой две формы одной и той же теоремы. Практическим преимуществом этих теорем является то обстоятельство, что на изменение количества движения системы и на движение ее центра масс внутренние силы непосредственно не влияют.

Однако не следует думать, что внутренние силы не играют никакой роли в изменении величины и в движении центра масс системы. Их действие может оказать влияние на изменение некоторых внешних сил.