3.2. Прямолинейные колебания материальной точки
3.2.1. Свободные гармонические колебания материальной точки
Колебания представляют собой распространенный вид движения, который обладает свойством повторяемости, периодичности. Изучение колебаний имеет большое значение для многих отраслей современной и будущей техники. Разработка методов исследования колебательных процессов является предметом теории колебаний.
Задачу о прямолинейном колебательном движении материальной точки, являющуюся частным случаем обратной задачи динамики точки, можно рассматривать как введение в теорию колебаний.
Р
ассмотрим
прямолинейное движение материальной
точки
(рис. 4) под действием единственной силы
,
направленной в любом положении точки
к неподвижному центру
и пропорциональной расстоянию
точки до этого центра. Проекция этой
силы на ось
равна:
,
(15)
где - постоянная положительная величина.
Центр
,
в котором
,
является положением
равновесия
точки, причем сила
стремится вернуть точку в это положение.
Поэтому сила
называется восстанавливающей.
Примером такой силы является сила
упругости пружины, в этом случае величина
называется коэффициентом
жесткости пружины.
Движение
точки будем рассматривать происходящим
вдоль координатной оси
.
Если отклонить точку
от положения равновесия
и отпустить с любой начальной скоростью
,
направленной вдоль оси
(причем скорость
может равняться и нулю), то точка будет
совершать свободные
(или собственные)
колебания около положения равновесия.
Составим дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось :
или
(16)
Разделим все члены уравнения (16) на массу точки и введя обозначение
,
(17)
приведем его к виду:
.
(18)
В результате получили дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний, часто называемое уравнением гармонического осциллятора.
Из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что общее решение этого уравнения имеет вид:
,
(19)
где
и
- произвольные постоянные интегрирования,
а величина
(20)
называется угловой частотой свободных гармонических колебаний, или просто собственной частотой.
Значения постоянных и находятся изначальных условий движения.
Пусть
при
.
Дифференцируя по времени (19), получим
.
(21)
Подставляя начальные условия в уравнения (19) и (21), будем иметь:
.
Тогда закон движения точки можно записать в форме
.
(22)
Общему решению (19) с помощью простых преобразований можно придать и другую форму
,
(23)
где и являются постоянными интегрирования и также находятся из начальных условий:
;
.
(24)
И
з
решений (22) или (23) следует, что под
действием линейной восстанавливающей
силы точка совершает свободные
гармонические колебания около положения
равновесия (рис. 5). Они реализуются лишь
за счет начального возмущения, когда
значения
и
отличны от нуля.
Амплитуда
свободных колебаний определяет наибольшее
отклонение точки от положения равновесия.
Величина
называется начальной
фазой
колебаний. Время, в течение которого
совершается одно полное колебание,
называется периодом
свободных колебаний
.
Поскольку
период синуса и косинуса равен
,
то фаза
колебаний
по истечении времени
возрастает на
,
то есть
,
откуда имеем:
.
(25)
Из формул (20) и (25) следует, что собственная частота и период свободных колебаний не зависят от начальных условий движения, а определяются только массой точки и коэффициентом жесткости . Это свойство свободных колебаний называется изохронизмом.
Размерность угловой (круговой) частоты имеет размерность угловой скорости:
,
в
отличие от частоты
,
измеряемой в герцах
.
Величины
и
связаны следующей зависимостью:
.
(26)
Из зависимостей (24) следует, что амплитуда и начальная фаза зависят от начальных условий.