Способи задання графа

1 . Найбільш наочним способом задання графа є малюнок, де вершини зображаються точками на площині, а дуги (ребра) лініями з (без) стрілок, що визначають напрямок зв’язку.

2. Граф можна задати через відображення, визначивши множину його вершин та множину відображень кожної із вершин:

, , , , .

3. Граф можна задати через К-список (підмножину декартового добутку множини вершин графа самої на себе).

.

4. Найбільш математичним способом задання графа вважають його задання через матрицю суміжності чи матрицю інцидентності.

Матрицею суміжності, відповідною до заданного графа, називають квадратну матрицю, розмірність якої дорівнює кількості його вершин, а елементами якої є числа 0 або 1. Причому елемент матриці дорівнює 1 у випадку, коли у графі існує дуга , і елемент дорівнює 0 в протилежному випадку.

Матрицею інцидентності, відповідної до заданого графа, називають прямокутну матрицю, кількість рядків якої дорівнює кількості вершин графа, а кількість стовпців – кількості його дуг. Елементами матриці є числа 0, 1 і -1, причому елемент матриці дорівнює 0 у випадку, коли дуга не інцидентна вершині , елемент матриці дорівнює 1 у випадку, коли дуга входить у вершину і елемент матриці дорівнює -1 у випадку, коли дуга виходить із вершини .

Для того, щоб дати характеристику графа (незалежно від способу його задання) необхідно вказати:

– множину вершин даного графа;

– ізольовані вершини, вершини входу та виходу (якщо вони існують);

– тип графа (щодо орієнтованості);

– вказати чи заданий граф є повним;

– вказати чи заданий граф є зв’язним;

Наведемо деякі основні задачі в теорії графів.

1. Знаходження найкоротшого шляху у графі.

Нехай у заданому графі необхідно знайти найкоротший шлях із усіх можливих, що з’єднують вершину із вершиною . Наведемо один із алгоритмів розв’язку цієї задачі (алгоритм послідовної індексації вершин).

Спершу вершині присвоїмо індекс (0), а всім суміжним із нею вершинам присвоїмо індекс (1). Всім вершинам, що суміжні із вершиною, якій присвоєно індекс (1), і які ще не мають індексу, присвоюємо індекс (2). Таким чином, здійснюємо послідовну індексацію суміжних вершин до моменту, поки вершині не буде присвоєно деякий індекс. Припустимо, що вершина отримала індекс (k). Це означає, що довжина найкоротшого шляху, що з’єднує вершину із вершиною дорівнює k, а сам шлях є шляхом, що проходить вершинами, індекси яких відповідно дорівнюють 0,1,2,…,k. Для встановлення послідовності вершин, що утворили найкоротший шлях (а таких однакової довжини може бути більше одного), вибираємо проіндексовані вершини, суміжні з вершиною , індекс яких рівний . Тоді для вершин індексу шукаємо суміжні з індексом . Цей процес продовжуємо доти, поки не потрапимо у початкову вершину . Встановлена послідовність вершин, записана в інвертованому порядку і буде цим найкоротшим шуканим шляхом або шляхами.

2. Знаходження оптимального шляху у зваженому графі (шляху мінімальної ваги).

Нехай у заданому зваженому графі необхідно знайти шлях найменшої ваги з усіх можливих, що з’єднують вершину із вершиною . Наведемо один із алгоритмів розв’язку цієї задачі (алгоритм Форда).

Спершу проводимо початкову індексацію вершин: вершині присвоїмо індекс (0), а всім вершинам даного графа надамо індекс . Отже, всі всі вершини графа є проіндексованими. Якщо вершини та є суміжними і проіндексовані відповідно та , а для їх індексів виконується нерівність: , де – вага дуги , тоді вершині присвоюємо індекс . Таким чином, здійснюємо процес переіндексації вершин, тобто корекцію проводимо для всіх індексів, для яких це можливо, до тих пір, поки всі проставлені індекси не стануть мінімально можливими. Якщо вершина одержить відмінний від індекс, який залишається незмінюваним, тоді значення становить довжину найкоротшого шляху в зваженому графі, а встановлення послідовності вершин цього мінімального шляху здійснюється аналогічно до вказаного у першому пункті способу.

Якщо індекс вершини залишається незмінюваним, рівним , то це означає, що шляху із вершини у вершину немає.

3. Знаходження числа шляхів або контурів заданої довжини.

Нехай необхідно знайти кількість шляхів довжини k, що з’єднують вершини та у заданому графі. Для розв’язання цієї задачі необхідно спершу побудувати відповідну матрицю суміжності для заданого графа. Далі піднести цю матрицю до степеня k. Значення елемента результуючої матриці і буде відповідати числу шляхів заданої довжини, що з’єднують вершини та . Сума всіх недіагональних елементів результуючої матриці дорівнює загальній кількості шляхів довжини k, що є у заданому графі.

У випадку, коли необхідно знайти кількість контурів, діємо аналогічним чином, враховуючи означення контура, – результат буде міститися на головній діагоналі результуючої матриці. Сума діагональних елементів становить число всіх контурів потрібної довжини у заданому графі.

Наведемо декілька прикладів розв'язування задач із теорії графів.

Приклад 1. Охарактеризувати граф, заданий матрицею суміжності

.

Розв’язування. Скористаємося планом характеристики графа, що поданий у теоретичній частині.

1. Множина вершин даного графа .

2. Вершина h є ізольованою, оскільки в матриці суміжності цій вершині відповідають нульовий рядок і стовпець. Вершинами входу є вершини та g, оскільки у матриці суміжності цим вершинам відповідає нульовий рядок, а стовпець не нульовий. Вершина виходу – k, оскільки рядок, відповідний цій вершині, у матриці суміжності не нульовий, а стовпець – нульовий.

3. Оскільки матриця суміжності несиметрична – граф є графом змішаного типу. Існують строго напрямлені дуги такі як , а також існують двонаправлені дуги, такі як і .

4. Оскільки у графі є ізольована вершина, то граф не є повним і не є зв’язним.

Приклад 2. Граф, що заданий у попередньому завданні записати через відповідні множини відображень.

Розв’язування. Множина вершин даного графа .

Запишемо множину відображень для кожної вершини графа:

; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Приклад 3. Знайти кількість контурів довжини 3 з вершини a та кількість шляхів довжини 2, що з’єднують вершини c та b у підграфі графа, який заданий у попередньому завданні з вершинами .

Розв’язування. Для знаходження кількості шляхів довжини 2, що з’єднують вершини c та b необхідно матрицю суміжності заданого графа піднести до квадрату.

,

Квадрат матриці суміжності заданого графа є матрицею вигляду

.

Кількість шляхів довжини 2, що з’єднують вершини c та b визначає елемент матриці . Отже, кількість шляхів дорівнює 2.

Для визначення кількості контурів довжини 3 з вершини a необхідно знайти елемент матриці . Отже, кількість контурів дорівнює 4.