3. Базові поняття алгебри логіки

Основними об’єктами алгебри логіки є елементарні висловлювання – висловлювання, про які однозначно можна сказати, що вони істинні або хибні.

Кожне елементарне висловлювання алгебри логіки повинно задовольняти двом вимогам:

1) Закон виключення третього. Висловлювання може бути або істинним, або хибним. Третього не дано.

2) Закон протиріччя. Висловлювання не може одночасно бути і істинним, і хибним.

Функцією алгебри логіки (логічною функцією) від змінних називатимемо функцію, яка приймає значення 0 та 1 (істинне, хибне), і аргументи якої теж можуть приймати значення 0, 1 (істинне, хибне).

Серед операцій алгебри логіки визначають наступні:

– операція заперечення;

( ) – операція кон’юнкції або логічного множення;

– операція диз’юнкції або логічного додавання;

– операція імплікації;

– операція еквівалентності або рівнозначності;

– операція Шеффера;

– операція Пірса;

– операція додавання за модулем два або операція нерівнозначності.

Таблиця істинності операцій алгебри логіки.

1	1	0	1	1	1	1	0	0	0
1	0	0	0	1	0	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	1	0	1
0	0	1	0	0	1	1	1	1	0

Пріоритетність логічних операцій (порядок їхнього виконання у формулі при відсутності дужок):

1. операція заперечення;

2. операція кон’юнкції;

3. операція диз’юнкції;

4. усі решта введених операцій зліва направо в порядку входження у формулу.

Розглянемо основні закони операцій алгебри логіки, застосовні до трьох змінних .

1. Закони комутативності

2. Закони асоціативності

3. Дистрибутивний закон для кон'юнкції по відношенню до диз'юнкції

4. Дистрибутивний закон для диз'юнкції по відношенню до кон'юнкції

5. Закон подвійного заперечення

6. Закони де-Моргана (закони двоїстості)

7. Закони ідемпотентності

8. Закони поглинання

9. Операції з константами 0 та 1.

10. Закон виключення третього

11. Закон суперечливості (протиріччя)

Справедливість цих законів еквівалентності може бути перевірена за допомогою таблиць істинності.

Алгебраїчна структура називається алгеброю Буля. Алгебра , побудована на базисі функцій кон’юнкції, додавання за модулем два та функції-константи одиниці, називається алгеброю Жегалкіна.

У алгебрі Жегалкіна виконуються закони:

1. Закони комутативності

2. Закони асоціативності

3. Дистрибутивний закон для кон'юнкції по відношенню до додавання по модулю два

4. Закони ідемпотентності для кон'юнкції

5. Закон поглинання (зведення подібних членів при додаванні за модулем два

6. Операції з константами 0 та 1.

Наведемо еквівалентності, що дозволяють перетворити будь-яку формулу алгебри логіки у формулу алгебри Жегалкіна чи відповідно у формулу алгебри Буля:

Наведемо декілька прикладів розв'язування задач з алгебри логіки.

Приклад 1. Побудувати таблиці істинності формули .

Розв’язування. На підставі таблиці істинності для бінарних логічних операцій побудуємо відповідні таблицю істинності для заданої формули .

Таблиця істинності формули

0	0	0	0	1	1	0	0
0	0	1	0	1	0	1	1
0	1	0	1	0	1	0	1
0	1	1	1	0	0	1	0
1	0	0	1	0	1	0	1
1	0	1	1	0	1	0	1
1	1	0	1	0	1	0	1
1	1	1	1	0	1	0	1

Приклад 2. Мінімізувати формулу алгебри логіки, що задана в попередньому завданні.

Розв’язування. Скористаємося побудованою вище таблицею істинності формули . Побудуємо для кожного її істинного значення відповідну елементарну кон'юнкцію і об'єднаємо їх операцією диз’юнкція (отримаємо відповідну ДДНФ).

= .

Далі проведемо неповне склеювання елементарних кон’юнкцій між собою , а також поглинання . Отримаємо скорочену диз’юнктивну нормальну форму, яка визначає кожну формулу однозначно.

.

Подальший аналіз одержаного виразу свідчить про мінімальний рівень складності виразу , тобто це і є мінімальна ДНФ.

Приклад 3. Побудувати еквівалентну формулу у алгебрі Жегалкіна для формули, що задана в попередньому завданні.

Розв’язування. Скористаємося наступними співвідношеннями між операціями алгебри логіки: ; ; , отримаємо