Деякі властивості операцій над множинами

1. Комутативність:

2. Асоціативність:

3. Дистрибутивність:

а) перетину відносно об’єднання:

б) об’єднання відносно перетину:

в) різниці:

г) закони двоїстості (де Моргана):

д) інші властивості

;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

Еквівалентність та потужність множин

Визначимо поняття еквівалентності та потужності множини на основі взаємно-однозначної відповідності.

Дві множини називають еквівалентними (кількісно еквівалентними), якщо між ними можна встановити взаємно-однозначну відповідність. Іноді стверджують, що це множини з однаковою потужністю .

Множина , еквівалентна множині натуральних чисел , називається зчисленною множиною. Властивість зчисленності передбачає, що кожному елементу множини можна поставити у відповідність натуральне число, тобто всі елементи множини можна занумерувати. При цьому:

а) будь-яка множина еквівалентна зчисленній множині є зчисленною множиною;

б) будь-які дві зчисленні множини є еквівалентними множинами;

в) будь-яка підмножина зчисленної множини є множиною зчисленною або скінченною;

г) довільне об'єднання скінченної та зчисленної множин є множиною зчисленною.

Поряд із цим, безконечну (нескінченну) множину, яка не є зчисленною, ми будемо називати незчисленною множиною. Множина всіх дійсних точок відрізка (0,1) є множиною потужності континуум. Всі множини, рівнопотужні з нею називатимемо множинами континуальної потужності. Доведено, що множина дійсних чисел є рівнопотужною із множиною всіх дійсних точок відрізка (0,1), а отже, множиною потужності континуум.

Наведемо декілька прикладів розв’язування задач із теорії множин.

Приклад 1. Довести тотожність .

Доведення. Покажемо, що будь-який елемент із множини є одночасно елементом множини . Для того, щоб необхідно, щоб . Аналогічно, , якщо . З іншого боку, якщо , то . Отже, якщо , то , тобто .

Покажемо тепер, що будь-який елемент із множини буде елементом множини . Нехай . Якщо , то , якщо , то . Отже, якщо , то . З іншого боку, якщо , то . Аналогічно, якщо , то . Отже, якщо , то , а значить . Враховуючи попередньо одержане: і , матимемо . Тотожність доведено.

Дане завдання можна подати, використовуючи графічну інтерпретацію. Для цього необхідно показати, що область, якій належать елементи множини співпадає з областю, якій належать елементи множини , використовуючи діаграми Ейлера-Венна.

Приклад 2. Задано множини :

, , , , . Знайти результат виконання операцій над множинами .

Розв’язування. Виконуючи дане завдання, необхідно використати визначення операцій над множинами, а також деякі з відомих законів.

; ; ;

Тоді

Отже, обчислимо .

Приклад 3. Задано множини :

; ;  – множина дійсних чисел. Чи будуть рівнопотужними множини і ?

Розв’язування. Очевидно, що обидві задані множини є нескінченними. Визначимо потужність кожної із них. Оскільки множина містить всі парні числа, кратні 3, вона є підмножиною множини натуральних чисел, а отже, її потужність є зчисленною. Елементами множини є всі дійсні числа за винятком натуральних парних чисел. Так як ця множина є підмножиною дійсних чисел, її потужність – континуум. Отже, множини та не є рівнопотужними.