7.5. Несобственные интегралы
Определённый
интеграл
называют собственным
интегралом,
если промежуток интегрирования
конечен,
а подынтегральная функция f(x)
непрерывна на этом отрезке. В данном
разделе рассматриваются так называемые
несобственные
интегралы,
т.е. определённый интеграл от непрерывной
функции, но с бесконечным промежутком
интегрирования, либо определённый
интеграл с конечным промежутком
интегрирования, но от функции, имеющей
в этом интервале бесконечный разрыв.
Несобственный интеграл I рода (интеграл с бесконечным
промежутком интегрирования)
Пусть
подынтегральная функция f(x)
непрерывна
и ограничена для всех
. Несобственный интегралом первого рода
обозначается символически как
.
Несобственным
интегралом
от функции f(x)
на бесконечном промежутке
называется предел, если он существует,
при
определённого интеграла
,
т.е.
= . (7.21)
Если этот предел существует и он конечен, то несобственный интеграл сходится. Если указанный предел не существует или он бесконечен, то интеграл называется расходящимся.
Аналогичным
образом определяется несобственный
интеграл на промежутке
=
.
(7.22)
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой
=
+
,
(7.23)
где с – произвольное число. В данном случае интеграл слева сходится в том случае, когда сходятся оба интеграла справа.
Примеры. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
1.
=
,
интеграл расходится;
2.
=
=
=
=
;
3.
=
, интеграл расходится, так как при
предел
не существует.
4.
Определить площадь фигуры, ограниченной
кривой
и осью Ох
=
=
=
.
Рис. 7.19.
Признаки сравнения
Приведём без доказательства один из признаков сходимости несобственных интегралов I рода.
Теорема.
Если на промежутке
для непрерывных функций удовлетворяется
неравенство 0
,
то из сходимости интеграла
следует сходимость интеграла
,
из расходимости интеграла
следует расходимость интеграла
.
Пример.
Исследовать
сходимость интеграла
.
Подынтегральная функция
в промежутке интегрирования меньше чем
,
а интеграл
является сходящимся. Следовательно,
данный интеграл также сходится.
Несобственный интеграл II рода (интеграл от разрывной функции)
Пусть функция
f(x)
непрерывна на промежутке
и имеет бесконечный разрыв в точке х
= b
. Несобственным
интегралом II
рода
называется
конечный предел, если он существует,
интеграла
.
Таким образом, по
определению,
.
(7.18)
Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится. В противном случае несобственный интеграл расходится.
Если функция f(x) имеет разрыв в точке с на промежутке [a, b], то несобственный интегралом II рода определяется формулой
.
В этом случае интеграл слева сходится, если оба несобственных интегралов справа являются сходящимися.
Примеры. Вычислить или установить сходимость несобственного интеграла:
1.
.
При х
= 1 функция
терпит бесконечный разрыв.
=
2.
.
При х = 0 функция
терпит бесконечный разрыв.
=
,
интеграл расходится.
Примеры для самостоятельного решения
Вычислить несобственные интегралы:
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
5)
.
6)
.