7.2. Вычисления определённого интеграла

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и F(x) – какая-либо её первообразная на [a, b] ( ), то выполняется равенство

. (7.2)

Доказательство. Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция - первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то

при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:

, ,

Тогда .

А при х = b:

Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:

Теорема доказана.

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов, если известна первообразная функция F(x).

Примеры. Вычислить интеграл

1. ;

2. ;

3. .

Рассмотрим теперь методы вычисления определенных интегралов, эти методы практически ничем не отличаются от всех тех способов, которые были рассмотрены при нахождении неопределенных интегралов.

При вычислении определённых интегралов широко применяются метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

Интегрирования подстановкой

Пусть необходимо вычислить определённый интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b]. Вычисление данного интеграла будем производить методом заменой переменной x = (t).

Теорема. Пусть 1) функция x = (t) и её производная x’ = ’(t) непрерывны

на отрезке [, ];

2) множество значений функции x = (t) при яв-

ляется отрезок [a, b];

3) () = а, () = b ,

тогда

. (7.3)

Доказательство. Пусть F(x) - первообразная для функции f(x) на [a, b].

Тогда по формуле Ньютона-Лейбница . Так как , то является первообразной для функции , . Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница

= .

Теорема доказана.

Формула (7.3) называется формулой замены переменной в определённом интеграле.

Пример.

Интегрирование по частям

Теорема. Если непрерывные на отрезке [a, b] функции u = u (x) и v = v (x) имеют непрерывные на этом отрезке производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

(7.4)

Вывод этой формулы совершенно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Формула (7.4) называется формулой интегрирования по частям для определённого интеграла.

Пример.

= .

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить определённый интеграл

1) . 2) . 3) . 4) .

5) . 6) . 7) . 8) . 9) . 10) . 11) . 12) . 13) .

14) . 15) . 16) . 17) .