153

7. Определённый интеграл

7.1.Понятие определённого интеграла

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y = f(x). Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n

Тогда x₁ – x₀ = x₁, x₂ – x₁ = x₂, … ,x_n – x_n-1 = x_n – длины частных отрезков.

На каждом из полученных частных отрезков [x_i-1, x_i], i = 1, 2,…, n выберем произвольную точку и найдем значение функции в этой точке, т.е. f(с_i ) (см. рис. 7.1).

Рис. 7.1.

Составим выражение S_n , которое называется интегральной суммой для функции y = f(x) на отрезке [a, b].

S_n = f(c₁)x₁ + f(c₂)x₂ + … + f(c_n)x_n = .

Обозначим λ длину наибольшего частичного отрезка: (i = 1, 2,…, n). Найдём предел интегральной суммы, когда так, что .

Если при любых разбиениях отрезка [a, b] на частичные таких, что maxx_i 0 и произвольном выборе точек с_i интегральная сумма стремится к пределу I , то это число называется определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a, b] и обозначается

Таким образом, = . (7.1)

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, х – переменной интегрирования, [a, b] – отрезком интегрирования, f(x)- подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением.

Функция у = f(x), для которой на отрезке [a, b] существует определённый интеграл называется интегрируемой на этом отрезке.

Из рисунка 7.1. видно, что сумма произведений S_n = равна площади ступенчатой фигуры и приближённо равна площади S криволинейной трапеции:

S ≈ S_n = .

С уменьшением всех величин x_i криволинейной трапеции ступенчатой фигурой увеличивается. Поэтому за точное значение площади криволинейной трапеции принимается предел S , к которому стремится площадь ступенчатой фигуры S_n , когда n неограниченно возрастает так, что :

= , то есть S = .

Таков геометрический смысл определённого интеграла.

Теорема (Коши). Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Существуют и иные теоремы математического анализа, определяющие классы функций, интегрируемых на отрезке [a, b]. В частности таковыми являются:

• непрерывные на отрезке [a, b] функции;

• ограниченные на отрезке [a, b] функции, имеющие конечное число точек разрыва;

• монотонные на отрезке [a, b] функции.

Основные свойства определённого интеграла

Рассмотрим основные свойства определённого интеграла, считая подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке [a, b]

1. (С – const) , т.е. постоянный множитель С можно выносить за знак определённого интеграла.

2. , т.е. интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.

3. .

4. .

5) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:

, т.е. интеграл по всему отрезку равен

сумме интегралов по частям этого отрезка.

6. Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [a, b], где a < b, то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так если на отрезке [a, b] , то .

7. Если f(x)  (x) на отрезке [a, b] (a < b), то , т.е. неравенство между непрерывными функциями на отрезке [a, b] (a < b) можно интегрировать.

8. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b] (a < b), то:

6. Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка такая, что

.

Доказательство: В соответствии со свойством 8:

или . Обозначим .

т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все значения от m до М. Другими словами, существует такое число с [a, b], что  = f(с), т.е. или . Теорема доказана.

10) Производная определённого интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом

Доказательство: пусть функция у = f(x) интегрируема на отрезке [a, b]. Вводится обозначение , здесь . Рассмотрим три точки отрезка [a, b]: а , х, х + Δх ( ) и определим разность . По свойству 5 определённых интегралов первый интеграл правой части можно представить в виде

суммы . В результате

.

По теореме о среднем (свойство 9) , .

Далее вычислим производную функции

.