1.3. Последовательности испытаний

1.3.1. Схема Бернулли

Схема Бернулли – это сложное испытание, являющееся последовательностью из n независимых испытаний, в каждом из которых фиксируется успех или неудача, причем вероятность успеха в каждом испытании одна и та же и равна p. Тогда вероятность события, состоящего в появлении ровно m успехов в n испытаниях, определяется по формуле Бернулли: , где – число сочетаний из n по m. Очевидно, что .

Наивероятнейшее число успехов в n испытаниях определяется как целая часть числа , т.е. . Если – целое, то наивероятнейшим числом является также m₀ –1. В этом случае .

Схемой Бернулли является, в частности, процедура последовательного извлечения из урны n шаров с возвращением в урну каждого шара, если в урне находится N шаров, из которых M белых. Урновая схема (выборка – без возвращения) равносильна схеме Бернулли при N, M , , так как можно показать, что: .

На практике в урновой схеме уже при N  100, и небольших m часто можно пользоваться формулой Бернулли. Например, если N=100, M=1, n=10, то для m=1 получим:

; 0,0914,

а для m=0: ; 0,9044.

Как видим, отличия незначительные.

1.3.2. Формулы Муавра-Лапласа

Локальная формула Муавра-Лапласа применяется для приближенного вычисления вероятностей в схеме Бернулли, если np(1-p)>9, :

где

Интегральная формула Муавра-Лапласа используется для вычисления вероятностей того, что число успехов окажется в интервале

,

где Ф(х) и Ф₁(х) - функции (интегралы) Лапласа, для которых составлены таблицы (см. приложение, табл.1П), причём

,

Имеют место равенства: Ф₁(х) = 0,5+Ф(х); Ф(–х) = –Ф(х); Ф₁(х) + Ф₁(–х) = 1.

Пусть событие А состоит в том, что окажется в интервале [p–ε; p+ ε]. Тогда .

1.3.3. Схема Пуассона

Это наблюдение за потоком редких мгновенных событий (появление двух и более событий за малый отрезок времени считается невозможным) в случае, когда вероятность появления m событий (успехов) (m=0,1,2,…) на разных отрезках времени одинаковой длины одна и та же и не зависит от количества предыдущих событий. Тогда вероятность появления m событий за время t находится по формуле Пуассона, представляющей собой закон редких событий:

; или ,

где – среднее число событий (успехов) в единицу времени.

Примеры: поток заявок на обслуживание, поток редких преступлений.

Примечание. Схема Пуассона может интерпретироваться как проведение эксперимента с пробой (воздуха, воды и т.д.), взятой из ограниченного объема (площади, длины). Тогда t – объем пробы, m – число каких-либо частиц.

Схема Бернулли при переходит в схему Пуассона, так как . На практике вместо формулы Бернулли можно использовать формулу Пуассона при , p < 0,1 (или p > 0,9, но тогда надо (1– p) заменить на p).

24