2. Частотное определение вероятности

Вероятностью события А называется предел отношения числа m появлений события А среди n испытаний, каждое из которых проводится в рамках одного и того же комплекса условий, при n , т.е. . При этом сходимость понимается не обычная, а по вероятности. Обычная сходимость последовательности к некоторому пределу означает, что для любого сколько угодно малого  всегда найдется такое значение N, начиная с которого все значения последовательности (при n>N), будут находиться внутри -коридора, построенного вокруг предельного значения. В данном случае такое значение N отсутствует, но с ростом n вероятность выхода значения из -коридора стремится к нулю.

Примечание. Ввиду того, что на практике число испытаний не может быть бесконечным, то в качестве вероятности события А часто принимают относительную частоту (частость), т.е. , которую иногда округляют.

Пример 1. Среди 100 изделий, изготовленных по одной технологии, при проверке обнаружено 5 дефектных. Тогда в качестве вероятности изготовления дефектного изделия по этой технологии можно принять

При изменении технологии, т.е. комплекса условий проведения испытаний, вероятность сначала может быть оценена экспертами, а затем, после накопления новых статистических данных, – аналогично предыдущему.

Пример 2. Из 1000 бросаний монеты в 495 случаях выпал «орел». Число 495 близко к 500, поэтому можно сделать предположение о равновозможности выпадения орла и решки при одном бросании монеты и значит можно принять .

2. Субъективная вероятность события

Это величина, оцениваемая экспертом или группой экспертов в долях или количестве шансов (обычно из 100), соответствующих этому событию. Эксперты при этом должны руководствоваться правилами: P()=1 (100%); P( )=0; если В  A, то P(В) < P(A); если A₁, A₂ ,..., A_n – полная группа событий, то

_.

Субъективные вероятности используются обычно по отношению к редким, особым событиям. Эксперты при этом привлекают информацию из аналогичных ситуаций.

2. Аксиоматическое определение вероятности

Потребность самых различных специалистов в едином определении понятия «вероятность», которое бы обобщило предыдущие три, впервые удовлетворил А. Н. Колмогоров. Данное им аксиоматическое определение базируется на использовании понятия поля событий (или -алгебры) S, т.е. класса (системы) таких подмножеств пространства элементарных событий , счетное число операций дополнения, объединения и пересечения с которыми всегда дает подмножество, не выходящее из этого класса, причем, S. Исходя из этого, дается определение вероятности, как некоторой числовой функции, определенной на множествах поля S. Мы будем руководствоваться более простым определением.

Определение. Вероятностью P(A) любого события A (A ) называется число, удовлетворяющее следующим аксиомам:

Аксиома 1. P(A) ≥ 0.

Аксиома 2. Вероятность достоверного события  равна единице: P() = 1.

Аксиома 3. Вероятность события A, являющегося объединением двух несовместных событий (А = В + С, где ВС=Æ ), равна сумме вероятностей этих событий, то есть:

Р(А)=Р(В+С)=Р(В)+Р(С)

Следствия: 1) (это следует из аксиом 2, 3).

2) Р(Æ)=0 (это следует из аксиомы 3, если взять В = , С = Æ = , а также следствия 1).

3) Р(В∙С)=0, если В и С несовместны.

4) , если А_i (i=1,2,…,n) –полная группа событий.

5) Если В  A, то P(В) < P(A).

Действительно: P(A)= > P(В).