2. Классическое определение вероятности. Геометрическая вероятность

Пусть имеется полная группа равновозможных событий – В_i (i=1,2,...,n) и некоторое событие А, такое, что А= , где 1  m  n. События В_i (В_i  A), где i=1,2,...,m, назовем событиями, благоприятствующими событию A. Тогда можно дать следующее определение.

Вероятностью события A называется отношение числа m равновозможных событий, благоприятствующих событию A, к общему числу n равновозможных событий, т. е. .

Примечание. Этим определением можно пользоваться лишь в случае, когда есть уверенность в равновозможности событий В_i.

Пример. Вероятность извлечения пики при извлечении одной карты из колоды в 36 карт можно вычислять по-разному, в зависимости от разбиения на равновозможные события, но результат будет один и тот же: .

Урновая схема (модель). Ряд практических задач сводится к следующей модели. В урне имеется N шаров одинакового размера. Из них M белых. Из урны наугад (вслепую) выбирают n шаров без возвращения их в урну. Тогда вероятность того, что среди n шаров будет ровно m белых (m = 0,1,2,…, n):

,

где n₁ – общее число равновозможных событий, равное (числу сочетаний из N по n); m₁ – число равновозможных событий, благоприятствующих событию A_m (оно равно произведению числа сочетаний из M белых шаров по m на число сочетаний из (N-M) небелых шаров по (n-m)). Заметим, что события A_m (m = 0,1,2,…, n) попарно несовместны и , т.е. совокупность этих событий представляет собой полную группу событий (из нее можно исключить невозможные события).

Частный случай: M=1, m=1. Тогда

.

В качестве белых и небелых шаров могут быть приняты: годные и дефектные изделия; люди, голосующие «за» и «против»; всхожие и невсхожие семена; раскрытые и нераскрытые преступления; предприятия, скрывающие и нескрывающие свои доходы от налогообложения и т.д.

Примечание. Классическое определение понятия «вероятность события» часто дается через понятие элементарных событий (исходов). Но сочетание (в отличие от размещения), строго говоря, не является элементарным событием, если шары извлекаются по одному.

Пример. Пусть в урне 7 шаров. Из них 5 белых. Из урны наугад извлекли 3 шара. Тогда вероятность того, что среди трех шаров будет ровно 2 белых равна:

Вероятность того, что среди трех шаров не будет ни одного белого (т.е. m=0), можно записать сразу: , так как событие А₀, состоящее том, что среди трех вынутых из урны шаров число белых шаров =0, является невозможным (в урне всего 2 небелых шара и среди трех извлеченных шаров хотя бы один будет белым). Этот же результат получится и при использовании вышеприведенной формулы (так как ):

Геометрическая вероятность – это вероятность попадания материальной точки в область gG n-мерного (n=1,2,3,…) пространства, если точка бросается наудачу в область G. Она определяется по формуле: , где m() – мера указанной области (мерой, в частности, может быть длина, площадь, объём). Геометрическая вероятность фактически является обобщением классической вероятности на случай, когда число элементарных событий бесконечно.

Пример. Пусть эксперты прогнозируют поступление налогов в бюджет в будущем году в размере от 20 до 30 млрд. руб. Появление любого числа из данного интервала они считают равновозможными событиями. Тогда вероятность того, что сумма налогов превысит число 22, равна: Р(N22) = = 0,8