РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА

И ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ рф

нИЖЕГОРОДСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра математики и системного анализа

Маслов В.Н.

Теория вероятностей и математическая статистика

Ч.1. Теория вероятностей

Учебное пособие

.

Н. Новгород 2012 г.

Аннотация

Настоящее пособие содержит краткое изложение основ теории вероятностей и математической статистики, предусмотренных программой обучения. Предназначено для студентов, обучающихся по специальности “Прикладная информатика” (в области экономики). Оно может быть использовано и при изучении математики по специальностям "Государственное и муниципальное управление", "Менеджмент", "Финансы и кредит" и др. Пособие снабжено примерами, соответствующими будущим специальностям студентов.

Содержание (общее)

Стр.

Введение I. Теория вероятностей 1. Случайные события 1.1. Основные термины и определения 1.2. Условная вероятность. Основные формулы 1.3. Последовательности испытаний 2. Случайные величины 2.1. Распределения и числовые характеристики одной случайной величины 2.2. Модифицированные формулы полной вероятности и Байеса 2.3. Функция случайной величины и ее характеристики 2.4. Системы случайных величин 2.5. Функции многих случайных величин II. Математическая статистика 3. Оценивание характеристик генеральной совокупности 3.1. Основные понятия математической статистики 3.2. Оценивание одномерных распределений 3.3. Точечное оценивание параметров генеральной совокупности 3.4. Интервальное оценивание 4. Корреляционный и регрессионный анализ 4.1.Общие понятия 4.2. Методы построения однофакторных регрессионных моделей. 4.3. Использование регрессионных моделей 5. Проверка статистических гипотез 5.1. Основные понятия 5.2. Проверка непараметрических гипотез 5.3. Проверка простых параметрических гипотез 5.4. Дисперсионный анализ 6. Элементы теории статистических решений. Критерий Байеса. III. Cлучайные процессы 7. Элементы теории случайных процессов 7.1. Общие понятия 7.2. Виды и модели случайных процессов 7.3. Марковские процесcы Приложения Литература

5 8 8 8 14 19 24 24 37 39 41 53 60 60

Введение

Дисциплина “Теория вероятностей и математическая статистика”, в отличие от математических дисциплин, призванных моделировать и исследовать детерминированные связи между величинами, имеет дело со стохастическими (статистическими) связями. Детерминированные математические модели имеют довольно ограниченную область применения, так как в реальности на исследуемые величины влияет множество неконтролируемых (случайных) факторов. Например, известный всем закон Ома иногда не точно описывает связь между током, напряжением и сопротивлением. И когда этот закон используется в расчетах или измерениях, часто требуется оценить и их точность. Аппарат теории вероятностей позволяет это сделать.

Мы живем в мире, который представляется нам наполненным как закономерными, так и случайными событиями. Падение на Землю клада с золотыми монетами, поднятого смерчем, – это закономерность, обусловленная законом всемирного тяготения. Но выпадение его на Ваш дачный участок мы воспримем как случайность. Случайными мы считаем и оценки результатов голосования на выборах на основе социологических замеров. Многие события (например, дефолт 17 августа 1998 г.) одними людьми воспринимаются как случайные, другими – как закономерные. Степень случайности может быть разной и её надо уметь оценивать. Она во многом зависит от информированности людей.

В экономике, социологии, политологии, психологии, криминалистике и др. науках элементы случайности присутствуют в гораздо большей степени, чем в физике. Это обусловлено огромным числом факторов, влияющих на события, трудностей их выявления, учета. Использование в этих науках детерминированных моделей должно быть еще более ограничено, так как оно отрицательно сказывается на точности прогнозов, качестве управленческих решений.

В организациях осуществляется сбор и обработка огромного количества статистических данных, используемых в управлении. Однако формальная обработка этих данных и их применение для прогнозов и принятия решений без учета всех необходимых условий, в которых они получены, и без описания результатов решения задач на языке теории вероятностей порой только ухудшает качество управления.

Следует отметить, что теория вероятностей применима не только к часто повторяющимся событиям, явлениям или процессам, как пишут иногда в учебниках. Грамотная организация процесса получения экспертной информации и не менее грамотная ее обработка позволяют и для уникальных событий, явлений или процессов, осуществлять прогнозы с достаточно высокой точностью и достоверностью и принимать эффективные решения. При этом используется понятие субъективной вероятности.

Теория вероятностей начала развиваться в Европе, в 17 веке, благодаря увлечениям богатых людей разными играми, а вскоре – из-за потребностей в этой теории страхового бизнеса. У истоков создания теории вероятностей стоят такие ученые, как Паскаль, Ферма, Гюйгенс, Лаплас, Гаусс, Пуассон. После неудачных попыток в 18 веке использовать теорию вероятностей в судопроизводстве (ввиду примитивности методов) в 19 веке началось ее бурное возрождение. На этот раз ведущая роль в развитии теории вероятностей стала принадлежать России, где была создана мощная Петербургская школа, прославившаяся такими учеными, как В. Буняковский, П. Чебышев, А. Марков (старший), А. Ляпунов. В 20 веке их дело было продолжено А. Хинчиным, А. Колмогоровым и др.

Твердые знания по теории вероятностей и математической статистике помогут обрести вероятностное мышление и устранить многие недостатки сложившейся практики управления. Без этих знаний нельзя разобраться в многочисленных пакетах компьютерных программ, применение которых в менеджменте привело к резкому повышению качества, производительности, эффективности, а в конечном счете – конкурентоспособности.

Данную дисциплину в представленной читателю форме изложения можно отнести к дисциплинам прикладной математики. Предлагаемое учебное пособие отвечает требованиям образовательных стандартов по указанным выше специальностям. Оно состоит из трех частей. Теория вероятностей (ч.1) позволяет описывать с помощью математических моделей степень случайности событий (как массовых, так и редких), результатов измерений, а также статистическую зависимость между величинами. Математическая статистика (ч.2) призвана выявлять случайные закономерности на основе выборочных исследований. Теория случайных процессов (ч.3) – это обобщение теории вероятностей для описания изменения величин во времени или в пространстве.

Автор выражает благодарность профессору ННГУ, доктору физ.-мат. наук, Тихову М. С. за советы в подготовке данного учебного пособия.