2. Условная вероятность. Основные формулы

1.2.1. Условная вероятность. Вероятность произведения событий. Независимость событий.

Определение. Условной вероятностью называется вероятность события В, определяемая по формуле:

Вероятность произведения двух событий и условные вероятности связаны формулой умножения вероятностей:

Р(АВ)= Р(А/B)P(B)=P(B/A)P(A)

Следствие. Если события несовместны, причем Р(А)  0 и Р(В)  0, то Р(А/B)=0 и P(B/A)=0.

Пример. Пусть в магазине есть 5 автомобилей, 2 из которых имеют скрытый дефект, А – покупка дефектной машины первым покупателем, В – вторым. Очевидно, что Р(А)=Р(В)=2/5. Вероятность того, что оба покупателя получат дефектные машины, согласно классическому определению вероятности: Р(АВ)=m/n=1/10, так как n= =10, m=1. Тогда, используя формулу условной вероятности события В, получим: Р(В/А)= = 1/4. Кстати, если использовать классическое определение вероятности для вычисления вероятности события В при предположении, что первый покупатель купил дефектный автомобиль, то результат будет тот же.

Таким образом, условную вероятность можно называть также вероятностью события В при условии, что событие А произошло.

Если речь идет об условной вероятности события В, то это означает, что комплекс условий испытания, в ходе которого может появиться событие В, пополнен еще одним условием. Множество элементарных событий  при этом уменьшается или остаётся прежним. Условная вероятность может быть как больше, так и меньше безусловной.

Для n событий можно легко вывести следующую формулу:

Р(A₁, A₂,…,A_n)=P(A₁)P(A₂/A₁)P(A₃/A₁,A₂)P(A_n/A₁,…,A_n)

Определение 1. Событие A не зависит от события B, если Р(А/B)=P(A).

Независимость событий взаимна, т.е. если Р(А/B)=P(A), то P(B/A)=P(B).

Если события A и B независимы, то Р(АВ)=Р(А)P(B) и наоборот.

Определение 2. События A₁, A₂ ,..., A_n называются попарно независимыми, если независимыми являются любые пары из этих событий.

Определение 3. События A₁, A₂ ,..., A_n называются независимыми в совокупности, если для любого их подмножества

.

Если это выполняется при k = 2, то события попарно независимы. Из независимости в совокупности следует попарная независимость, но не наоборот.

Пример. Подбрасываются две монеты. Пусть событие A₁ – выпадет герб на первой монете, A₂ – герб на второй, A₃ – оба герба или обе решки. Тогда, используя классическое определение вероятности, находим: и . Здесь имеет место попарная независимость. Действительно, и т.д. Однако

.

Значит, события A₁, A₂, A₃ не являются независимыми в совокупности.

1. Вероятность суммы событий Сумма событий означает, что произойдет хотя бы одно из них. Для вероятности суммы двух событий справедлива формула:

Доказательство. Представим в виде суммы несовместных событий следующие события: A+B= , B= . Тогда

P(B)= . Отсюда . Наконец,

P(A+B)= , что и тр. доказать.

Для вероятности суммы трёх событий легко вывести формулу:

Интерпретацию можно осуществлять с помощью кругов Эйлера, начерченных для совместных событий:

Если воспользоваться тождеством де Моргана (дополнение объединения множеств равно пересечению дополнений), то можно записать:

P(A+B)=1–P( )=1–P( )

В общем случае аналогичная формула для вероятности того, что произойдет хотя бы одно из событий А_i, имеет вид:

P =1–P

Эти формулы обычно более предпочтительны для использования.

Задача. Бизнесмен, вкладывая свой капитал в три не зависимых друг от друга акционерных общества, дает следующие оценки для вероятностей оказаться при этом в выигрыше: P(А₁)=0,9; P(А₂)=0,8; P(А₃)=0,7. Определить вероятность того, что он выиграет хотя бы в одном из вариантов вложения капитала.

Можно уверенно предполагать, что события А_i (i=1,2,3) независимы в совокупности. Тогда можно доказать, что независимы в совокупности и события . Значит, искомую вероятность можно определить следующим образом:

P(A₁+A₂+A₃)=1–P( )=1–P( )P( )P( )=1–0,10,20,3=0,994.

Частные случаи: 1. События А_i (i=1,2, ,n) попарно несовместны. Тогда

.

2. События А и В независимы и их вероятности не равны 0. Тогда они совместны, так как Р(АВ)=Р(А)P(B)0.

3. Событие А влечет событие В: AB. Тогда P(A+B)=P(B). Это видно из нижеприведённого рисунка, а также следует из формулы

, так как Р(АВ)=Р(А).