Наиболее важные понятия, характеристики и их обозначения, используемые в книге.

1. События – A; B; C; D; А+В; А∙В; ;…

2. Случайные величины – .

3. Вероятности событий – Р(А); Р(А+В); Р(А∙В); Р(Х=x₀); P(X<x₀); Р( );…

4. Условные вероятности – Р(А/B); Р(C/А∙В); …

5. Функции распределения – F(x); Ф(x); F(x,y);…

6. Вероятность значений дискретной случайной величины (ДСВ) Х как функция – Р(х); Р(y);…

7. Плотности вероятности – f(x); f(y); ψ(x); g(y); f(x,y); f₁(x); φ(y/x);…

8. Математические ожидания случайных величин – MX; M(X); М[(Х-МХ)²];…

9. Дисперсии случайных величин – DX; D(X);…

10) Средние квадратические отклонения –

11) Оценки числовых характеристик случайных величин и параметров –

Часть. 1. Теория вероятностей

1. Случайные события

1. Основные термины и определения

1.1.1. Виды событий. Полная группа событий

Событие – это предполагаемая особенность или предполагаемый результат протекания процесса.

Особенностями протекания процессов являются, например, отсутствие нарушений в процессе изготовления партии продукции, наличие наблюдателей за ходом голосования на избирательном участке. Результатами протекания процессов в этих примерах могут являться приемка или браковка партии продукции по результатам контроля выборки, проценты голосов, отданных за кандидатов в депутаты. О событиях можно говорить в будущем, настоящем и прошедшем времени. Например, произойдет отказ двигателя автомобиля во время поездки, происходит подводное извержение вулкана в определенной акватории Тихого океана, в 1591 г. произошло убийство (а не несчастный случай) царевича Дмитрия.

Говоря о событии, надо всегда представлять объекты, участвующие в описании процесса, и условия протекания процесса. В теории вероятностей такой процесс обычно называют испытанием (экспериментом, опытом). Мы тоже будем придавать термину “испытание” обычно широкий смысл, хотя в узком смысле слова испытание – это процесс, конструируемый исследователем с помощью задания определенного комплекса условий его протекания, среди которых есть воздействия на объекты исследований. Если воздействия на объекты исследований отсутствуют, то процесс часто называют наблюдением. К наблюдениям относятся и процессы, описанные историками.

Мы будем предполагать, что испытание можно провести (реально или мысленно) в одних и тех же условиях сколько угодно раз. Комплекс условий, при которых осуществляется испытание, в общем случае представляет собой систему из внешних данных и условий, задаваемых исследователем. Пусть, например, испытанием является выбор избирательного участка для анализа результатов голосования жителей, прикрепленных к данному участку. Внешними данными при этом являются законодательство о выборах, информация в СМИ о кандидатах (например, в мэры города), объемы финансирования избирательной кампании, масштабы агитации в целом по городу и т.д. В качестве условий, задаваемых исследователем, может быть выбрано наличие на избирательном участке наблюдателя от определенной политической партии.

Испытание может быть простым или сложным, т.е. состоящим из более мелких испытаний. Например, проверка налоговым органом одной торговой сделки предприятия является простым испытанием, а проверка нескольких торговых сделок до обнаружения незаконной сделки (или при фиксации числа проверяемых торговых сделок) является сложным испытанием.

События могут быть возможными и невозможными. Невозможным является, например, извлечение трех шаров из ящика, в котором всего два шара.

Достоверное событие – единственно возможное событие.

Случайное событие – одно из двух или более возможных событий.

Случайность события отчасти обусловлена наличием неконтролируемых условий испытания. Достоверное и невозможное события будут обозначаться, соответственно,  и . В дальнейшем они будут рассматриваться как крайние частные случаи случайных событий. Случайные события будем обозначать, как правило, большими начальными буквами латинского алфавита: A,B,C,….

Элементарное событие (исход) – событие, которое нельзя разложить на более простые (обозначают ).

Сложное событие – событие, которое можно разложить на более простые.

Пример. Событие, состоящее в получении месячного дохода в сумме 5,1 тыс. руб. является элементарным, а в интервале от 5 до 6 тыс. руб. – сложным.

Противоположное событие – событие, означающее, что некоторое событие A не произойдет или не произошло (обозначается ).

Пространство элементарных событий – множество  всех элементарных событий. Заметим, что.

Любое событие A можно представлять как некоторое подмножество множества элементарных событий, поэтому для событий справедливы все операции и тождества алгебры множеств. Будем обозначать AB – произведение событий (пересечение множеств); A+B – сумму событий (объединение множеств). Достоверное событие , по сути, – единичное множество, невозможное – пустое. Противоположное событие является дополнением множества А до единичного множества, т. е. А + = .

События могут быть равновозможными, если они имеют равные шансы произойти.

Определение 1. Два события A и B называются несовместными ( = ), если появление (наличие) одного из них исключает появление (наличие) другого в том же испытании (наблюдении).

Определение 2. Полная группа событий – это множество A₁,·A₂,…,А_n попарно несовместных событий, сумма которых является достоверным событием, т.е.

, где A_i·A_j= , i j

Пример 1. Пусть испытание – это извлечение одной игральной карты из колоды. События A_i ( i = 1,2,3,4 ), состоящие в извлечении пики, трефы, бубны или червы, образуют полную группу сложных равновозможных событий.

Пример 2. Испытание состоит в бросании на стол игральной кости (шестигранного кубика). Пусть событие A_i (i = 1,2,...,6) – выпадение грани с номером i. Тогда множество всех событий A_i представляет собой полную группу элементарных событий, причем неравновозможных, если центр тяжести смещён.

Пример 3. Пусть расследуется некоторое преступление, в совершении которого подозреваются два человека. Пусть событие П_i означает, что преступление совершил i-й человек (i=1,2). Тогда события A₁= ; A₂= ; A₃= ; A₄= образуют полную группу элементарных неравновозможных событий.