§ 4. Volatility ценных бумаг с фиксированным процентом.
Рассмотрим единственную номинальную сумму акции с фиксированным процентом, который приносит процент D ежегодно и погашается через n лет по цене R. Пусть и текущая цена акции равна текущей стоимости, от интенсивности за год будущих процентных и капитальных выплат. Предположим, что у инвестора, который купил акцию, все будущие чистые потоки наличности положительны. Тогда:
(1)
В частном случае, когда g = , где связан с :
по ставке (2)
Если в (1) , то:
по ставке (3)
Заметим, что zero-coupon bond: g = 0,
(4)
Предположим, что процент выплачиваться непрерывно. Из (2.4) следует:
с интенсивностью (5)
Сначала покажем, что для фиксированного n, volatility убывает с ростом g:
т.к.
Из (5) следует:
(6)
(7)
Можно показать:
и следовательно знак тот же, что и у :
т.к. - неотрицательно возрастающая неограниченная функция от n, имеем следующие результаты:
Если g , то возрастает от 0, когда n=0, до ограниченной величины // при .
Если g , то возрастает от 0 при n=0, до такого n, что (9).
После которого уменьшается до // при (уравнение (9) может быть решено численно)
Т.о. возможно, при данной интенсивности , что volatility опред. долгосрочных низкопроц. погашаемых акций превосходит вечную ренту. Это такие акции для которых , т.е.
Неравенство выполняется тогда и только тогда
(10)
n> ; g<
Т.о. если даны g и и 0<g< погашаемая акция с пропорциональной ставкой g за единицу долгового обязательства будет иметь больший volatility , чем вечная рента . Тогда и только тогда срок погашения превосходит Если даны и n, погашаемая акция со сроком n будет иметь больший volatility, чем вечная рента тогда и только тогда когда процентная ставка за единицу долгового обязательства меньше чем - .
Предельная величина при равна .
Пример10.4.1. Спекулянт покупает большое количество ценных бумаг с фиксированной процентной ставкой, когда он ожидал, что процентные ставки упадут, с целью их продажи в короткий срок для получения прибыли. Сейчас он выбирает между двумя акциями с фиксированным процентом:
Ценная бумага 1. Приносит 5% ежегодно в конце года и погашается по номиналу через 5 лет.
Ценная бумага 2. Приносит 11%ежегодно в конце года и погашается по номиналу через 6 лет.
Эти акции всегда имеют один и тот же валовой доход за год 10%. Какую акцию он должен купить, чтобы получить большую капитальную прибыль на малое падение процентных ставок? (без налогов)
Решение. Величина volatility для каждой ценной бумаги : (по формуле (1))
ЦБ1: at 10% = 4.488
ЦБ2: at 10% = 4.725
Следовательно спекулянт выберет ЦБ2.
Пример10.4.2. Когда δ = 0.08 цены за единичный номинал 2-ух ценных бумаг с фиксированными процентами A и B равны и известно, что когда
0.05 0.8.
volatility A volatility B.
Доказать, что если интенсивность изменяется непрерывно от 0.008 за год до 0.05, тогда новая цена акции А будет меньше новой цены акции В.
Решение.
Пусть и - цены единичного номинала А и В.
Имеем:
Из уравнения (3.4): ,
Отсюда, если мы положим ,
то (0.08) = 0, , . Следовательно, по теореме о среднем значении и т.е.