§ 4. Volatility ценных бумаг с фиксированным процентом.

Рассмотрим единственную номинальную сумму акции с фиксированным процентом, который приносит процент D ежегодно и погашается через n лет по цене R. Пусть и текущая цена акции равна текущей стоимости, от интенсивности за год будущих процентных и капитальных выплат. Предположим, что у инвестора, который купил акцию, все будущие чистые потоки наличности положительны. Тогда:

(1)

В частном случае, когда g = , где связан с :

по ставке (2)

Если в (1) , то:

по ставке (3)

Заметим, что zero-coupon bond: g = 0,

(4)

Предположим, что процент выплачиваться непрерывно. Из (2.4) следует:

с интенсивностью (5)

Сначала покажем, что для фиксированного n, volatility убывает с ростом g:

т.к.

Из (5) следует:

(6)

(7)

Можно показать:

и следовательно знак тот же, что и у :

т.к. - неотрицательно возрастающая неограниченная функция от n, имеем следующие результаты:

1. Если g , то возрастает от 0, когда n=0, до ограниченной величины // при .

2. Если g , то возрастает от 0 при n=0, до такого n, что (9).

После которого уменьшается до // при (уравнение (9) может быть решено численно)

Т.о. возможно, при данной интенсивности , что volatility опред. долгосрочных низкопроц. погашаемых акций превосходит вечную ренту. Это такие акции для которых , т.е.

Неравенство выполняется тогда и только тогда

(10)

n> ; g<

Т.о. если даны g и и 0<g< погашаемая акция с пропорциональной ставкой g за единицу долгового обязательства будет иметь больший volatility , чем вечная рента . Тогда и только тогда срок погашения превосходит Если даны и n, погашаемая акция со сроком n будет иметь больший volatility, чем вечная рента тогда и только тогда когда процентная ставка за единицу долгового обязательства меньше чем - .

Предельная величина при равна .

Пример10.4.1. Спекулянт покупает большое количество ценных бумаг с фиксированной процентной ставкой, когда он ожидал, что процентные ставки упадут, с целью их продажи в короткий срок для получения прибыли. Сейчас он выбирает между двумя акциями с фиксированным процентом:

Ценная бумага 1. Приносит 5% ежегодно в конце года и погашается по номиналу через 5 лет.

Ценная бумага 2. Приносит 11%ежегодно в конце года и погашается по номиналу через 6 лет.

Эти акции всегда имеют один и тот же валовой доход за год 10%. Какую акцию он должен купить, чтобы получить большую капитальную прибыль на малое падение процентных ставок? (без налогов)

Решение. Величина volatility для каждой ценной бумаги : (по формуле (1))

ЦБ1: at 10% = 4.488

ЦБ2: at 10% = 4.725

Следовательно спекулянт выберет ЦБ2.

Пример10.4.2. Когда δ = 0.08 цены за единичный номинал 2-ух ценных бумаг с фиксированными процентами A и B равны и известно, что когда

0.05 0.8.

volatility A volatility B.

Доказать, что если интенсивность изменяется непрерывно от 0.008 за год до 0.05, тогда новая цена акции А будет меньше новой цены акции В.

Решение.

Пусть и - цены единичного номинала А и В.

Имеем:

Из уравнения (3.4): ,

Отсюда, если мы положим ,

то (0.08) = 0, , . Следовательно, по теореме о среднем значении и т.е.