6

Основы теории плоского зацепления

Лекция 6

Коэффициент перекрытия прямозубых эвольвентных колес

Коэффициент перекрытия – это один из основных показателей качества зацепления, характеризующий плавность и непрерывность контакта или непрерывность процесса зацепления.

Р

r_b2

r_a2

r_a2

r_b2

ассмотрим процесс зацепления одной пары зубьев эвольвентных колес. Пусть O₁ и О₂ – геометрические оси вращения двух эвольвентных колес, находящихся в зацеплении (рис.1). Межосевое расстояние a_w = O₁O₂. Проведем основные окружности колес радиусов r_b1 и r_b2.

Рисунок 1 – К определению коэффициента перекрытия прямозубых эвольвентных колес

Пусть первое колесо ведущее и вращается против часовой стрелки с угловой скоростью ₁. Тогда линия зацепления, по которой будет перемещаться точка контакта зубьев колес, в процессе работы, пройдет слева вниз направо. Линия зацепления – касательная к основным окружностям N₁N₂. Опустим перпендикуляры O₁N₁ и O₂N₂. Тогда пересечение линии зацепления N₁N₂ с межосевой линией O₁O₂ – Р – полюс зацепления. В соответствии с ранее рассмотренными свойствами эвольвентного зацепления центральные углы  N₁O₁P и N₂O₂P равны между собой и равны углу зацепления (углу давления) _W.

Отрезок линии зацепления N₁N₂ – теоретическая линия зацепления. По свойствам эвольвентного зацепления точка контактов зубьев колес может находится только на этой линии.

Определим длину теоретической линии зацепления. Рассмотрим отрезок N₁N₂ как состоящий из двух отрезков N₁P и N₂P:

N₁N₂ = N₁P +N₂P.

Из прямоугольного треугольника N₁O₁P определим длину отрезка N₁P:

N₁P = O₁Р  sin_W .

Из прямоугольного треугольника N₂O₂P определим длину отрезка N₂P:

N₂P = O₂P  sin_W .

Через полюс зацепления проходят начальные окружности зубчатых колес, которые в процессе зацепления обкатываются друг по другу без скольжения. Отрезки O₁P и О₂Р являются соответственно радиусами начальных окружностей:

O₁P = r_W1; О₂Р = r_W2 .

Таким образом получаем длину теоретической линии зацепления:

N₁N₂=O₁Psin_W+ O₂Psin_W = sin_W(O₁P +O₂Р) = sin_W(r_W1+ r_W2),

N₁N₂= a_Wsin_W.

Длина теоретической линии зацепления равна произведению межосевого расстояния и sin угла зацепления.

Выясним зону возможного контакта пары зубьев эвольвентных колес. Теоретически они могут контактировать на всем участке N₁N₂. Практически этого нет. Контакт зубьев может быть только там, где имеются профили зубьев обоих колес (от окружностей впадин до окружностей выступов).

Проведем окружности вершин зубьев колес r_a1 и r_a2.

Обозначим точки пересечения окружностей выступов с линией зацепления А и В. На линии зацепления N₁N₂ в точке А одновременно находятся профили зубьев обоих колес. Контакт зубьев может начинаться в точке А на линии зацепления, где кромка головки зуба колеса 2 вступает в контакт с некоторой точкой ножки зуба колеса 1. На отрезке теоретической линии зацепления N₁A контакта быть не может, т.к. на этом отрезке может находится только профиль зуба колеса 1. Изобразим эвольвенты зубьев 1^го и 2^го колес в начале контакта. Зуб ведущего колеса 1 начинает контактировать ножкой зуба с кромкой головки зуба ведомого колеса 2.

Колеса продолжают вращаться. Точка контакта перемещается по линии зацепления и по профилям зубьев. Последняя точка контакта пары зубьев – точка В, т.к. на отрезке линии зацепления N₂B находиться только профиль зуба колеса 2.

В точке В кромка головки зуба колеса 1 контактирует с некоторой точкой ножки зуба колеса 2. Изобразим эвольвенты зубьев в момент конца контакта.

Пара зубьев эвольвентных колес может контактировать только на участке линии зацепления АВ, где окружности выступов колес пересеклись с линией зацепления.

Отрезок линии зацепления, на котором контактируют зубья эвольвентных колес, называется длиной активной части линии зацепления или рабочей частью линии зацепления.

Найдем длину активной части линии зацепления. Для этого соединим точку А с О₂ и точку В с O₁. Обозначим начала эвольвент зубьев первого колеса на основной окружности соответственно А₀ и В₀.

Отрезок АВ состоит из двух отрезков АР и РВ:

АВ=АP+РВ.

Из построения видно, что

AP=AN₂–PN₂ ,

PB=BN₁–PN₁.

Подставим эти значения в предыдущее равенство:

АВ=AN₂–PN₂ + BN₁–PN₁ ,

следовательно

AB=AN₂+BN₁–a_Wsin_W .

Из прямоугольного треугольника N₂O₂A определим AN₂:

.

Из прямоугольного треугольника N₁O₁B определим BN₁:

.

Таким образом, подставив полученные выражения в предыдущую формулу, получаем длину активной части линии зацепления:

_.

Линия зацепления – что нормаль к эвольвентам. Расстояние между одноименными эвольвентами, измеренное по нормали, равно расстоянию между началами эвольвент, измеренное по дуге основной окружности.

АВ=А₀В₀ .

А₀В₀ называется дугой зацепления по основной окружности.

Дугой зацепления по некоторой окружности называется путь, пройденный определенной точкой зуба по данной окружности за время зацепления. Отношение длины дуги зацепления по некоторой окружности к шагу зубьев колеса по этой же окружности называется коэффициентом перекрытия.

Коэффициент перекрытия обозначается индексом  (эпсилон). Зная длину зацепления по основной окружности и шаг по основной окружности определяем :

,

P_b=Pcos=mcos ,

^.

Коэффициент перекрытия показывает количество шагов, на которое поворачиваются колеса за время зацепления одной пары зубьев.