Тема 6. Повторные независимые испытания.

Литература: 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. «Высшая школа». М. 2003.Глава 5.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. «Высшая школа». М. 2004.Гл. 3.

Методические указания.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных областях естествознания, техники, экономики.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Будем понимать под событием результат испытания. Все события можно разделить на три вида: достоверные, невозможные, случайные. Случайное – событие, которое при определенных условиях может либо произойти, либо нет. На практике случайное событие есть следствие многих случайных причин и учесть их влияние невозможно. Если рассматривать многократно повторяющиеся при одних и тех же условиях события, то имеют место определенные закономерности, которые называются вероятностными.

Основным понятием теории вероятностей является вероятность события.

Вероятностью Р события А называется отношение числа исходов m , благоприятствующих появлению события А, к числу n всех несовместны и равновозможных исходов испытания.

Вероятность события принимает значения от 0 до 1.

Если производится несколько независимых испытаний, причем вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются повторными независимыми относительно события А. Если при этом вероятность появления события А в каждом испытании одна и та же, то они называются повторными независимыми испытаниями. Для того, чтобы определить вероятность того, что в n независимых повторных испытаниях событие А наступит ровно m раз используются формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона. Для нахождения вероятности того, что событие А наступит от m₁ до m₂ раза используется интегральная теорема Лапласа.

Примеры решения задач.

Задача №11. Вероятность прорастания семян огурцов равна 0,8. Какова вероятность того, что из 5 посеянных семян прорастут: а) три; б) не менее четырех.

Решение. Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна p, то вероятность что событие А появится в этих n испытаниях т раз, выражается формулой Бернулли

, где , .

а) В нашем случае, p = 0,8, n = 5, m = 3, q=1 – p. Следовательно,

б) Прорастание не менее 4 семян означает, что должно взойти либо четыре, либо пять растений. Пусть событие А означает, что из 5 семян взойдут не менее 4 семян; событие В – из 5 взойдут 4; D– из 5 взойдут 5. Поскольку события В и D несовместны, вероятность наступления события А равна сумме вероятностей этих событий

Р(А) = Р(В) +Р(D)

Вероятность события В