Математический анализ
.doc
Вопросы к зачету за 1 семестр
-
Числовые множества. Основные способы задания их. Отношения между множествами. Расширенное множество вещественных чисел. Интервалы.
-
Операции над множествами и их свойства.
-
Основные элементарные функции, их свойства и графики.
-
Определение предела функции в точке и на бесконечности по Коши. Графические иллюстрации.
-
Бесконечно малые функции. Асимптотическое представление функции, имеющей конечный предел. Арифметические свойства пределов.
-
Бесконечные пределы функции. Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
-
Односторонние пределы функции, конечные и бесконечные.
-
Определения непрерывности в точке.
-
Эквивалентные бесконечно малые функции.
-
Классификация точек разрыва.
-
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
-
Определение производной функции в точке.
-
Геометрический смысл производной.
-
Уравнение касательной.
-
Дифференцируемые функции: определение и примеры. Критерий дифференцируемости.
-
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью.
-
Односторонняя и бесконечная производная.
-
Классификация положений касательных.
-
Дифференцирование суммы функций.
-
Дифференцирование произведения функций.
-
Дифференцирование частного функций.
-
Дифференцирование сложной функции.
-
Дифференцирование обратной функции.
-
Дифференцирование элементарных функций.
-
Логарифмическое дифференцирование.
-
Дифференцирование функций, заданных параметрически.
-
Производные высших порядков.
-
Дифференциал функции и его геометрический смысл.
-
Дифференциалы элементарных функций и правила нахождения дифференциалов.
-
Формула Тейлора для произвольной дифференцируемой функции.
-
Теорема Ферма.
-
Теорема Ролля.
-
Теорема Лагранжа.
-
Теорема Коши.
-
Правило Лопиталя.
-
Критерий постоянства дифференцируемой функции.
-
Критерий монотонности дифференцируемой функции.
-
Исследование функции на экстремумы.
-
Асимптоты графика функции.
-
Выпуклость функции. Точки перегиба.
-
Схема исследования функции с помощью производной.
-
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Вопросы к экзамену за 2 семестр
-
Первообразная и ее простейшие свойства.
-
Неопределенный интеграл: определение и основные свойства.
-
Табличное интегрирование.
-
Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
-
Метод интегрирования по частям.
-
Простейшие дроби первого и второго типа и их интегрирование.
-
Простейшие дроби третьего типа и их интегрирование.
-
Интегрирование правильных рациональных дробей.
-
Интегрирование иррациональных выражений.
-
Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная подстановка.
-
Определение определенного интеграла.
-
Свойства определенного интеграла.
-
Определенный интеграл с переменным верхним пределом, его непрерывность и дифференцируемость. Лемма Барроу. Формула Ньютона-Лейбница.
-
Метод замены переменной и интегрирование по частям для определенного интеграла.
-
Понятие несобственных интегралов 1-го и 2-го рода.
-
Сходящийся числовой ряд и его сумма. Необходимое условие сходимости.
-
Геометрический ряд, определение и условие сходимости.
-
Первый признак сравнения. Второй признак сравнения.
-
Признак Даламбера.
-
Интегральный признак сходимости. Гармонический ряд и ряд Дирихле.
-
Ряды с членами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимости ряда. Признак Лейбница.
-
Функциональный ряд и его сумма. Степенной ряд.
-
Область сходимости степенного ряда.
-
Разложение функции в степенной ряд.
-
Понятие функции двух переменных: определение, способы задания, график.
-
Частные производные: определение, геометрический смысл, правила нахождения.
-
Частные дифференциалы: определение, геометрический смысл, правила нахождения.
-
Полный дифференциал: определение, геометрический смысл, способ нахождения с помощью частных производных.
-
Производные и дифференциалы высших порядков.
-
Производная по направлению. Градиент.
-
Локальный экстремум функции двух переменных: определение, необходимое, достаточные условия.
-
Условный экстремум: определение, нахождение методом подстановки.
-
Глобальный экстремум функции двух переменных: определение, способ нахождения.
-
Определение двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному.
5.4.1. Основная литература
-
Виленкин И.В. высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов: учеб. пособие / И.В.Виленкин, В.М.Гробер.-5-е изд. – Ростов н/Д: Феникс, 2009.-415с.
-
Натансон И. П. Краткий курс высшей математики: учебное пособие для студ. вузов, обуч. по тех. спец. / И. П. Натансон. - 10-е изд., стереотип. - СПб. [и др.] : Лань, 2009. - 736 с.
-
Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс: курс лекций / Д. Т. Письменный. - 9-е изд. - М. : АЙРИС ПРЕСС, 2009. - 602 с.
-
Справочное пособие по высшей математике : учебное пособие. Т. 1. Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл. Ч. 1. Введение в анализ: 280 задач с решениями / И. И. Ляшко [и др.]. - 7-е изд. - М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2010. - 240 с.
http://knigafund.ru/
-
Высшая математика для экономистов: учебник/ Издательство «ЮНИТИ-ДАНА», 2012. – 481с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.knigafund.ru/books/149228 (дата обращения 09.05.2013)
-
Геворкян П.С. Высшая математика. Основы математического анализа: учебник для вузов/ Геворкян П.С.; Издательство «ФИЗМАТЛИТ», 2011. - 240с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа:http://www.knigafund.ru/books/112591 (дата обращения 09.05.2013)
-
Ильин В.А., Позняк Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I: учебник для вузов/ Ильин В.А., Позняк Э.Г.; Издательство «ФИЗМАТЛИТ», 2009. – 646с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.knigafund.ru/books/106300 (дата обращения 09.05.2013)
-
Никольский С.М. Курс математического анализа: учебник для вузов/ Никольский С.М.; Издательство «ФИЗМАТЛИТ», 2011. - 592с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.knigafund.ru/books/116081 (дата обращения 09.05.2013)
5.4.2. Дополнительная литература
-
Архипов Г. И. Лекции по математическому анализу: учеб. для студентов вузов, обучающихся по направлениям и специальностям . физ.-мат. профиля. - М.: Изд-во Моск. ун-та: Дрофа, 2004. - 638 с.
-
Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа: решение типичных и трудных задач: учеб. пособие / Г.Н. Берман. - СПб.:Лань, 2005. - 604 с.
-
Бермант А. Ф. Краткий курс математического анализа: учебник для вузов. - 12-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2005. - 735 с.
-
Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. – СПб.: Лань, 2006. - 736с.
-
Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Под ред. Б.П. Демидовича. – Москва: АСТ, 2007. - 495с.
-
Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. – СПб.: Лань, 2005. - 727 с.
5.4.3. Программное обеспечение и Интернет-ресурсы
-
Богатова С.В. Дифференциальные уравнения. Ряды: Учебное пособие / Рязан. гос. радиотехн. акад. - Рязань, 2006. - 112 c. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://window.edu.ru/resource/184/75184 (дата обращения 15.04.2013)
-
Выск Н.Д. Математический анализ. Часть 1. Дифференциальное исчисление: учебное пособие. - М.: МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2011. - 172 с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://window.edu.ru/resource/890/76890 (дата обращения 15.04.2013)
-
Густомесов В.А. Функции нескольких переменных: Учебное пособие. - Екатеринбург, Урал. гос. пед. ун-т, 2005. - 118 с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://window.edu.ru/resource/558/67558 (дата обращения 15.04.2013)
-
Ковальчук В.Е., Чалов П.А. Лекции по математическому анализу: Интегральное исчисление. Определенный интеграл. - Ростов-на-Дону, Южный федеральный ун-т, 2007. - 103 с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://window.edu.ru/resource/182/57182 (дата обращения 15.04.2013)
-
Никитина О.Г. Ряды: Учебное пособие. - Пенза: ПГПУ, 2012. - 84 с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://window.edu.ru/resource/088/78088 (дата обращения 15.04.2013)
-
Никитина О.Г. Функции нескольких переменных. Интегральное исчисление: Учебное пособие. - Пенза: ПГПУ, 2011. - 84 с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://window.edu.ru/resource/101/78101 (дата обращения 15.04.2013)
-
Ципоркова К.А. Интегральное исчисление функции одной переменной: Учебное пособие / К.А. Ципоркова; Рязан. гос. радиотехн. акад. - Рязань, 2006. - 112 с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://window.edu.ru/resource/233/75233 (дата обращения 15.04.2013)
-
Шадур И.М. Производная и исследование функций: Учебное пособие / "МАТИ"- Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского. - М.: 2008. - 31 с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://window.edu.ru/resource/884/76884 (дата обращения 15.04.2013)
-
Яковлев Г.Н. Дифференциальное исчисление функций одной переменной (задачи и упражнения): Учебно-методическое пособие. - М.: МФТИ, 2002. - 30 с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://window.edu.ru/resource/117/39117 (дата обращения 15.04.2013)
-
Яремко Н.Н. Интегральное исчисление функции одного переменного: Учебно-методическое пособие. - Пенза, 2012. - 77 с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://window.edu.ru/resource/112/78112 (дата обращения 15.04.2013)