Тема 3. Производная и дифференциал функции. Исследование функции с помощью производной.

Литература: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М. Высшая школа. 2008. Гл. 5,6.

2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М. Дело. 2002. Гл. 4,5.

Методические указания.

Производной функции называется выражение, характеризующее быстроту изменения функции при изменении ее аргумента. Например, если мы имеем функцию , то, очевидно, быстрота ее изменения равна 5, то есть изменение аргумента на единицу приводит к изменению значения функции на 5 единиц. ( , а ).

В общем случае производная функции определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента . Очевидно, что если , то , и .

Производная функции обозначается штрихом около символа функции . Таким образом, согласно определению

.

Примеры решения задач.

Задача №5. Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график.

Решение. Исследование функции предусматривает нахождение области определения, точек экстремума и интервалов возрастания и убывания, а также точек перегиба и интервалов выпуклости и вогнутости графиков функции.

1. Находим область определения функции.

Выражение имеет смысл при любом действительном значении аргумента х, следовательно, областью определения функции является множество действительных чисел .

2. Находим первую производную заданной функции:

или .

3. Критическими точками функции называются точки, в которых производная равна нулю или не существует. Найдем их:

, т. е. или , откуда и . Других критических точек нет.

4) Обращение производной функции в нуль или ее отсутствие в точках, где функция определена, есть лишь необходимое условие существования экстремума функции в этих точках.

Достаточным условием существования экстремума функции в критической точке, входящей в область определения функции, является изменение знака производной первого порядка при переходе через эту точку. В частности, если производная меняет знак с плюса на минус, то в критической точке функция имеет максимум. Если же при переходе через критическую точку производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция имеет минимум.

Определим, являются ли точки и точками экстремума. Они разбивают всю числовую ось на три промежутка, (рис. 1), знак производной в которых определим с помощью «пробной» точки.

● ●

1 5 х

Рис. 1

В интервале (–∞; 1) возьмем, например, точку х = 0. Тогда

.

В интервале (1; 5) возьмем точку х = 2. Очевидно

.

Наконец, в интервале (5; ∞) возьмем точку х = 6. Тогда

.

Следовательно, точка х = 1 есть точка максимума данной функции, а точка х = 5 – точка минимума. Найдем значение функции в точках экстремума:

у_max = y(1) = (1³ – 9∙1² + 15∙1 – 3 ) = 1.

у_min = у(5) = (5³ – 9∙5² + 15∙5 – 3) = – 7.

5. Если производная функции положительна внутри некоторого промежутка, то функция возрастает на этом промежутке. Если же производная отрицательна внутри некоторого промежутка, то функция убывает на этом промежутке.

Очевидно, данная функция возрастает на промежутках (–∞; 1) и (5; ∞), а убывает на промежутке (1; 5).Результат исследований п. 4 и п. 5 удобно представить в виде схемы.

+ – +

• •

1 5 х

точка точка

max min

Рис. 2

6. Найдем вторую производную у″(х) данной функции

у″(х) = (3х² – 18х + 15)′ = (6х – 18).

Найдем точки, в которых вторая производная функции равна нулю

(6х - 18) = 0, откуда х = 3.

Точка х = 3 разбивает всю числовую ось на два интервала (–∞; 3) и (3; ∞). В интервале (–∞; 3) возьмем, например, точку х = 0 и определим в ней знак второй производной

у″(0) = (6∙0 – 18) = < 0.

В интервале (3; ∞) возьмем, например, точку х = 4, тогда

у″(4) = (6∙4 – 18) = > 0.

Если вторая производная f″(х) положительна внутри некоторого промежутка, то график этой функции на этом промежутке вогнутый вверх (или выпуклый вниз). Если же вторая производная f″(х) внутри некоторого промежутка отрицательна, то график функции на этом промежутке выпуклый вверх (или вогнутый вниз).

Очевидно, на интервале (–∞; 3) график данной функции выпуклый вверх, а на промежутке (3; ∞) – вогнутый вверх.

7. Если вторая производная f″(х) в некоторой точке х₀, принадлежащей области определения функции, обращается в нуль и при переходе через эту точку меняет знак, то точка является точкой перегиба графика функции . Итак, х = 3 – абсцисса точки перегиба. Найдем ее ординату

у(3) = (3³ – 9∙3² + 15∙3 – 3) = (–12) = –3.

Таким образом, точка (3; -3) - точка перегиба графика функции.

8. Строим график функции у = (х³ – 9х² + 15х – 3) (рис.3).

Рис. 3

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение производной функции.

2. Каков геометрический смысл производной?

3. В чем заключается физический смысл производной?

4. Сформулируйте правила дифференцирования суммы, произведения, частного.

5. Приведите формулы дифференцирования основных элементарных функций.

6. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.

7. Что называется дифференциалом функции? Каков его геометрический смысл?

8. Что называется производной второго порядка? Каков физический смысл производной второго порядка?

1. Сформулируйте признаки возрастания (убывания) функции в данном промежутке.

2. Какие точки называются критическими? Как найти эти точки?

3. Сформулируйте необходимые условия существования экстремума функции.

4. Сформулируйте достаточные признаки существования экстремума функции.

5. Дайте определение выпуклости, вогнутости кривой.

6. Что называется точкой перегиба графика функции?

7. Какова схема исследования функции на экстремум с помощью производной?