Примеры решения задач.
Задача №2. Решить систему уравнений
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы
.
Преобразуем эту матрицу таким образом, чтобы элементы, стоящие ниже главной диагонали были равны нулю. Для удобства вычисления третью строку переставим на первое место
.
Умножим первую строку на –2 и прибавим ко второй строке, а затем, умножив первую строку на –3, прибавим ее к третьей строке. Получим:
→
.
Оставив первую и вторую строки без изменения, к третьей прибавим вторую, умноженную на –5.
.
Полученной треугольной матрице соответствует треугольная система уравнений
которая равносильна данной системе.
Из последнего уравнения находим х3 = 1. Подставляя значение х3 во второе уравнение, находим х2
,
х2
= 1.
Подставляем найденные значения х3 и х2 в первое уравнение системы и находим х1
,
х1
= 3.
Система имеет единственное решение.
Ответ: х1 = 3; х2 = 1; х3 = 1.
Вопросы для самопроверки.
1. Как решается система уравнений методом Крамера?
2. Запишите систему m линейных уравнений с n неизвестными в общем виде. Что называется решением этой системы?
3. В чем состоит метод Гаусса?
4. Какие равносильные преобразования можно выполнять над уравнениями системы?
5. Какая система называется совместной; несовместной; неопределенной?
6. Как найти общее решение неопределенной системы? Как можно получить частное решение системы?
7. Дайте определение матрицы.
Тема 2. Введение в математический анализ.
Литература: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М. Высшая школа. 2008. Гл. 1, 2, 4.
2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М. Дело. 2002. Гл. 2, 3.
Методические указания.
Математический анализ – это раздел математики, посвященный изучению свойств и закономерностей функциональных зависимостей.
Функциональной зависимостью называется такая взаимосвязь одной или нескольких независимых переменных величин с некоторой, зависимой от них, переменной величиной, при которой каждому значению независимых переменных соответствует строго определенное значение этой зависимой переменной.
Математическое выражение, устанавливающее вид взаимосвязи зависимой переменной с независимой, называется функцией и обозначается строчной латинской буквой f. Независимая переменная называется аргументом функции, и, как правило, обозначается строчной латинской буквой х, а зависимая переменная – у.
Например,
.
Здесь функцией является выражение
.
Если
,
то функция имеет вид
.
Для функциональных
зависимостей существует понятие
области допустимых значений аргумента,
то есть совокупности таких значений
аргумента, при которых функция будет
определена. Очевидно, если
,
то х
не может быть отрицательным, при
,
х
не может быть равным единице и т.п.
Примеры решения задач.
Задача №3.
Найти предел функции
.
Решение.
При непосредственной подстановке
предельного значения х
= 3, получаем неопределенность
.
Для раскрытия неопределенности сократим
дробь
,
предварительно разложив на множители
числитель и знаменатель дроби
=
=
=
.
Задача №4. Найти предел функции
.
Решение.
При непосредственной подстановке
предельного значения х
= 0, получаем неопределенность
.
Для раскрытия неопределенности умножим
числитель и знаменатель дроби
на выражение
,
сопряженное знаменателю, и произведем
необходимые преобразования
=
=
=
=
= –3.
При нахождении
данного предела использовался первый
замечательный предел. Так как
,
то
.
Вопросы для самопроверки.
1. Сформулируйте определение функции одной независимой переменной.
2. Что называется областью определения функции? Областью значений функции?
3. Какая функция называется возрастающей? Убывающей?
4. Дайте определение максимума и минимума функции, точки максимума и точки минимума функции.
6. Какая функция называется четной? Нечетной?
7. Какая функция называется периодической?
8. Какая функция называется сложной?
9. Дайте определения, сформулируйте основные свойства, начертите графики основных элементарных функций.
10. Что называется числовой последовательностью?
11. Что называется пределом числовой последовательности?
12. Сформулируйте основные теоремы о пределах.
13. Какая переменная величина называется бесконечно большой? Бесконечно малой? Какая связь между ними?
14. Сформулируйте основные свойства бесконечно малых величин.
15. Что представляет собой первый замечательный предел?
16. Что представляет собой второй замечательный предел?
17. Дайте определение непрерывности функции в точке, в интервале.
18. Какая точка называется точкой разрыва функции?