Тема 4. Функции нескольких переменных.
Литература: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М. Высшая школа. 2008. Гл. 11, 12.
2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М. Дело. 2002. Гл. 10.
Примеры решения задач.
Задача №6. Найти частные производные функции
z = 6x4 – 3x3y + 3xy2 – 6y5 + 0,2 по х и у.
Решение. При нахождении частной производной по х, переменная у считается постоянной
=
=
=
.
При нахождении частной производной по у, переменная х считается постоянной
=
=
=
.
Задача №7. Найти частные производные функции
.
Решение. При нахождении частной производной по х переменная у считается постоянной
=
=
=
=
.
При нахождении частной производной по у, переменная х считается постоянной.
=
=
=
=
.
Вопросы для самопроверки.
1. Сформулируйте определение функции двух независимых переменных.
2. Дайте определение частных производных функции двух независимых переменных.
3. Запишите формулу для вычисления полного дифференциала функции двух независимых переменных.
4. Как находятся частные производные второго порядка функции двух независимых переменных?
Тема 5. Определенный интеграл и его приложения.
Литература: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М. Высшая школа. 2008. Гл. 8.
2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М. Дело. 2002. Гл. 7.
Методические указания
Под определенным
интегралом
от данной непрерывной функции
на данном отрезке [a;
b]
понимается соответствующее приращение
ее первообразной, то есть
.
Числа а
и b
называются соответственно верхним и
нижним пределом интегрирования. Обычно
разность
обозначают как
,
в силу чего формулу определенного
интеграла обычно записывают так
,
причем следует помнить, что сначала подставляется верхний предел интегрирования, а затем нижний.
Определенный интеграл имеет также геометрический смысл, заключающийся в том, что он равен площади криволинейной трапеции, то есть такой трапеции, одна из непараллельных сторон которой представляет собой график функции на интервале [a; b].
Вычисление определенных интегралов также представляет собой приведение с помощью различных приемов данного интеграла к табличному
Примеры решения задач.
Задача № 8. Вычислить определенный интеграл
.
Решение.
Данный интеграл приводится к табличному
с помощью подстановки t
= lnx.
Отсюда
.
Определим пределы интегрирования новой
переменной. При х
= 1, t
= ln1
= 0, при х
= е, t
= lne
= 1. Произведем замену переменной и
используем формулу Ньютона–Лейбница.
=
=
= arcsin1
– arcsin0
=
.
Задача № 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y
= x2,
,
y
= 0, x
= 2 (x
> 0).
Решение. Данную фигуру можно разбить на две криволинейные трапеции, площади которых соответственно равны: S1 и S2. (Рис. 4).
Тогда S = S1 + S2. Найдем абсциссу точки А –точки пересечения двух линий.
Отсюда
,
или х4
= 1, то есть х1
= –1 и х2
= 1. Так как по условию x
> 0, то абсцисса точки А равна 1.
у
2,0
1,5
1,0
0,5 у = 1/х
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 х
Рис. 4.
Следовательно,
=
,
и тогда
( кв.ед.).
Задача №10. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
и прямой y
= x
+ 2.
Решение. 1. Изобразим данные линии на чертеже и заштрихуем фигуру, площадь которой нужно найти. Графиком функции является парабола. Найдем производную данной функции и, приравняв ее к нулю, определим критическую точку.
.
Пусть y′
= 2 – х
= 0. Отсюда х
= 2. Это –
абсцисса вершины параболы. Ордината
вершины
.
Ветви параболы направлены вниз. Найдем
точки пересечения параболы с осью Ох,
положив у
= 0. Тогда
или
.
Решив данное квадратное уравнение,
получим х1
= -2 и х2
= 6. Строим параболу (рис. 5).
у
8
у = х + 2
6
4
2
–2 0 2 4 6 х
Рис. 5.
2. Графиком функции у = х + 2 является прямая, для ее построения достаточно двух точек. При х = 0, у = 2, при х = 2, у = 4. Строим прямую.
3. Площадь фигуры,
ограниченной сверху непрерывной кривой
,
снизу –
непрерывной кривой
находится по формуле:
,
где a и b – абсциссы точек пересечения кривых.
Для нахождения точек пересечения данных линий, решим систему уравнений:
,
или
.
Решая полученное квадратное уравнение, получим х1 = –2 и х2 = 4, следовательно, а = –2; b = 4. Применяя формулу площади, составим интеграл
.
Итак, искомая площадь S = 18 (кв. ед.).
Вопросы для самопроверки.
1. Дайте определение определенного интеграла от данной функции на заданном отрезке?
2. Каков геометрический смысл определенного интеграла?
3. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.
4. Сформулируйте свойства определенного интеграла.
5. Как используется способ подстановки для вычисления определенного интеграла?
6. Напишите формулу интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла.
7. Как вычисляется площадь плоской фигуры в прямоугольной системе координат с помощью определенного интеграла?