МІНІСТЕРСТВО ОСТІВИ ТА НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Львівський національний університет імені Івана Франка

Економічний факультет

Кафедра економічної кібернетики

Звіт

з дисципліни «Математичні моделі трансформаційної економіки»

на тему:

„ Марковські процеси в еволюційній теорії економічних змін ”

Виконали

Студентки групи ЕКкМ-51с

Горлата Галина Василівна

Суховерська Олеся Михайлівна

Львів - 2011

План

Вступ

1. Що таке Марковський процес.

2. Еволюційні моделі і Марковські процеси.

Висновок

Література

Вступ

Прискорення науково-технічного прогресу, закручування спіралі інноваційного розвитку в останні роки відзначається всіма дослідниками інноваційних перетворень, як теоретиками, так і практиками. З одного боку, така тенденція дає нескінченні можливості для подальшого економічного зростання, з іншого боку, підвищує невизначеність в економічній системі і ускладнює процес прийняття інвестиційних рішень, як приватними інвесторами, так і державою. Підвищення невизначеності в економічній системі призводить сторонніх спостерігачів до думки, що розвиток її стає все більш хаотичним, а значить, прогнозування стає заняттям невдячним.

Проте, останні досягнення, як економічної науки, так і природних наук дають нову надію на те, що і хаосом можна і потрібно управляти, але на новому, більш високому теоретичному рівні. Однією з таких порівняно нових теорій є еволюційна теорія економічних змін, основоположники якої, Р. Нельсон і С. Вінтер прямо вказували на те, що вербальне опис економічної еволюції знаходить своє математичне вираження в описі марковського процесу. "Ситуація в галузі в кожен період несе в собі зачатки ситуації в ній в наступний період ... Таким чином, те, що насправді визначає ситуація в галузі в даний період, - це розподіл її ймовірності в цій галузі в наступний період. Якщо додати важлива умова, що ситуація в галузі в періоди, що передували періоду t, не впливає на перехідні ймовірності між t і t +1, то це буде точно означати, що зміна в часі ситуації в галузі, або її стану, є марковским процесом ". Схожа точка зору викладається В.Б. Занга в його синергетичної економіці . Джерелом хаосу в економічній системі є безліч взаємно суперечливих дій економічних агентів. Особливо це має відношення до науково-технічному прогресу та інновацій, які мають два джерела хаосу: з одного боку наукові відкриття та винаходи, з іншого боку - споживчі переваги і мода.

1. Що таке Марковський процес.

Марковський процес – це важливий спеціальний вид випадкових процесів, що мають велике значення в додатках теорії ймовірностей до різних розділів природознавства і техніки. Прикладом Марковського процесу може служити розпад радіоактивної речовини. Відомо, що ймовірність розпаду даного атома за малий проміжок часу dt дорівнює αdt, де α - стала, що характеризує інтенсивність розпаду даного радіоактивної речовини; ця ймовірність не залежить від долі всіх інших атомів і від віку даного атома. Нехай N позначає число атомів радіоактивної речовини в деякий початковий момент часу t = 0 і Pn (t) - імовірність того, що до моменту часу t розпалося n атомів. Вірогідність Pn (t) задовольняють системі диференціальних рівнянь

Вирішуючи цю систему рівнянь при початкових даних

P₀ (0) = 1,

Pn (0) = 0, 1 ≤ n ≤ N,

отримуємо

У цьому прикладі в кожен момент часу є або 0, або 1, або 2, ..., або N розпадань атомів, причому число їх характеризує стан досліджуваного явища.

Розглянутий приклад входить у таку більш загальну схему. Нехай всілякими станами досліджуваної системи є ω₁, ω₂, ..., ω_n, ... в кінцевому або нескінченному числі. У кожен момент часу система може перебувати в одному з цих станів, і з плином часу відбуваються випадкові переходи з одного стану в інший. Процес називають марковським, якщо стан системи ω_i в деякий момент часу визначає лише вірогідність p_ij (t) того, що через проміжок часу t система буде перебувати в стані ω_j, причому ця вірогідність не залежить від перебігу процесу в попередній період. Вірогідність p_ij (t) називають перехідними ймовірностями. При дуже широких умовах перехідні ймовірності М. п. задовольняють кінцеву або нескінченну системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь.

Теорія Марковських процесів виникла на основі досліджень А. А. Маркова (старшого), який в роботах 1907 поклав початок вивченню послідовностей залежних випробувань і пов'язаних з ними сум випадкових величин. Цей напрямок досліджень відомо під назвою теорії ланцюгів Маркова. У теорії ланцюгів Маркова розглядаються такі системи, які можуть переходити з одного стану в інший лише в цілком певні моменти часу t_i, t_i, ... , T_k, ... Нехай p_ij позначає ймовірність того, що система в момент часу t_{k +1} перебуває в стані ωj, якщо відомо, що в момент часу t_k вона перебувала в стані ω_i. Дослідження ланцюгів Маркова можна звести до вивчення матриць перехідних імовірностей . Дифузія, в якій стан системи безперервно змінюється, координатою дифундує частинки.

У цьому випадку замість перехідних імовірностей природно розглядати відповідні щільності ймовірностей f (t, х, у). Тоді f (t, х, у) є ймовірність того, що частка, яка перебувала в точці х, через проміжок часу t матиме координату, укладену між у і y + dy. Колмогоров показав (при деяких загальних умовах), що щільності f (t, х, у) формується за наступним диференціальним рівняння з похідними:

яке раніше було введено для важливого в фізиці спеціального випадкового процесу дифузії німецькими вченими А. Фоккер і М. Планком. У цьому рівнянні коефіцієнт A (y) показує середню швидкість зміни координати у, а коефіцієнт В (у) - інтенсивність випадкових коливань близько цієї середньої. Зазначене рівняння стало джерелом для багатьох досліджень з теорії М. п. в СРСР і за кордоном.