2. Еволюційні моделі та марковські процеси.

Еволюційні моделі представляють моделі еволюції системи зі стану t у стан t+1. При цьому стан системи в момент часу t-1 не має значення. Математичним інструментарієм, що дозволяє описати такий перехід, є марковскі процеси, названі так згідно з іменем математика, професора Петербурзького університету А. А. Маркова (1856 - 1922рр.), що уперше їх досліджував.

Для дослідження марковських процесів уведемо поняття „випадкова величина" й „випадковий процес".

Випадкова величина - це величина, що у результаті досвіду може прийняти одне із числових значень відомої безлічі, однак заздалегідь не відомо яке.

Випадковий процес (випадкова функція S(t)) - це функція, яка кожному моменту часу t з тимчасового проміжку проведеного досвіду ставить у відповідність єдину випадкову величину S(t).

Якщо система Б із часом t змінює свої стани S(t) випадковим чином, то це свідчить про те, що в цій системі протікає випадковий процес. Таким чином, процес еволюції при переході зі стану в стан можна назвати випадковим.

Марковський процес - це випадковий процес, що протікає в системі S і має властивість відсутності наслідків. Тобто для кожного моменту часу t₀ імовірність будь-якого стану S(t) системи S у майбутньому (t > t₀) залежить тільки від її стану S(t₀) нині й не залежить від того, як і скільки часу розвивався цей процес у минулому.

Таким чином, поняття марковського процесу задовольняє основному постулату еволюційної теорії: кожен наступний стан об'єкта є результатом попереднього стану й джерелом наступного, при цьому інший стан, до уваги не приймається.

Властивість відсутності наслідків називають також властивістю відсутності пам'яті, а марковські процеси - процесами без пам'яті.

Коли переходи зі стану S(t) у стан S(t+1) відбуваються миттєво, тобто процес є дискретним, то для його аналізу зручно користуватися графами станів системи.

Граф містить у собі два основних елементи:

1) вершини, які характеризують різні стани системи й 2) зв'язки між вершинами, що характеризують можливість переходу з одного стану в інше.

При аналізі графів можна виділити п'ять основних видів систем:

1. система, що має стани без виходу, тобто якщо система потрапила в цей стан, то вона ніколи не зможе з нього вийти;

2. система, що має стани без входу, тобто якщо, перебуваючи в цьому стані, система з нього вийде, то вона ніколи не зможе в нього повернутися;

3. ергодична система - це система, у якій за кінцеву кількість кроків з одного стану можна перейти в інший стан;

4. система, що має стани без входу й без виходу;

5. система, що не має станів без входу й без виходу.

Якщо провести спостереження за випадковим процесом протягом деякого проміжку часу, то випадкова величина в кожен момент часу прийме конкретне значення, після чого цю функцію можна назвати реалізацією випадкового процесу.

Марковський випадковий дискретний процес, що протікає в системі S, характеризується не тільки можливими станами, у яких система може перебувати випадковим чином, але й тими моментами часу, у які можуть відбуватися її переходи зі стану в стан. Ці моменти часу можуть бути заздалегідь відомі або випадкові.

Існують два різновиди випадкових процесів, що протікають у системі:

1. випадковий процес з дискретним часом - це такий процес, в якому переходи системи зі стану в стан здійснюються тільки в певні заздалегідь моменти часу t₁, t₂,.... t_n.

2. випадковий процес з безперервним часом - це процес, в якому переходи можливі в будь-який випадковий момент часу.

Для випадкового процесу з дискретним моментом часу система між сусідніми переходами (кроками) зберігає свої стани. У зв'язку з тим, що даний процес можна представити випадковою послідовністю подій, він має назву ланцюг.

Ланцюг послідовних станів системи називається марковський ланцюгом, якщо для кожного кроку ймовірність переходу з будь-якого стану - в будь-який стан S_i не залежить від того, коли і як система S опинилася в стані S_j

Основними характеристиками марковських ланцюгів є ймовірності p_i (k) = p (S_i (k)). Дані ймовірності називаються імовірностями станів. Дана ймовірність характеризує ймовірність того, що система S від k-го до k +1 - го кроку буде перебувати в стані S. У зв'язку з тим, що система S в момент часу t може перебувати тільки в один із станів S₁, S₂,…., S_n події S₁(k), S₂(k ),...., S_n(k) утворюють повну групу подій, тому сума ймовірностей станів дорівнює 1.

Крім ймовірностей станів існують ймовірності переходів Рij (к), які відображають вірогідність переходу з i-го стану в j-тий для k-го кроку. Якщо дана ймовірність залежить від кроку то марковський ланцюг називається неоднорідним, якщо не залежить, - то однорідним. Дані ймовірності складають матрицю перехідних ймовірностей. Для однорідного марковського ланцюга він має вигляд

а для неоднорідного -

Сума елементів кожного рядка матриці перехідних ймовірностей дорівнює 1.

Так як існує початковий стан системи, то вектор початкового розподілу ймовірностей - це вектор-рядок вірогідності станів в початковий момент часу, безпосередньо передує першому кроці.

Маючи в своєму розпорядженні початковий розподіл ймовірностей і матрицю перехідних ймовірностей, можна обчислити ймовірність стану системи від будь-якого k-го до 1-го кроку. Має місце наступна теорема.

Теорема 2.1. Для однорідного марковського ланцюга вектор-рядок вірогідності станів системи від k-го до k+1-го кроку дорівнює добутку вектора-рядків ймовірностей станів від k-1-го до k-го кроку на матрицю перехідних ймовірностей, тобто:

З цієї теореми отримуємо наслідок.

Наслідок 2.1. Для однорідної марковської ланцюга має місце наступна формула:

Для неоднорідною марковської ланцюга існує наступна теорема.

Теорема 2.2. Для неоднорідною марковської ланцюга вектор-рядок вірогідності станів системи від k-го до k+1-го кроку дорівнює добутку вектора-рядків ймовірностей станів від k-1 - го до k-го кроку на матрицю перехідних ймовірностей від k-го до k+1 - го кроку, тобто:

З цієї теореми існує наступний наслідок:

Наслідок 2.2. Для неоднорідного марковського ланцюга має місце наступна формула:

Крім випадкових процесів з дискретним часом існують випадкові процеси з неперервним часом, при яких система може змінювати свої стани в будь-який випадковий момент часу.

Ймовірність стану відображає, в якому стані перебуває система в момент часу t. На відміну від випадкових процесів з дискретним часом у випадкових процесах з безперервним часом замість перехідних імовірностей існують інші характеристики процесу. Це така характеристика, як щільність ймовірностей переходу .

Щільністю ймовірності переходу системи S зі стану s_i в стан s_j в момент часу t називається величина

де p_ij(t;Δt) – імовірність того, що система S, яка знаходилася в момент часу t в стані S_i, за період часу [t; t+Δt] перейде з нього в інший стан S_j.

Матриця щільності імовірності має вигляд:

У даній матриці діагональні елементи рівні 0.

Знаючи щільності ймовірностей, можна розрахувати ймовірності станів за допомогою диференціальних рівнянь, грунтуючись на наступній теоремі.

Теорема 2.3. Імовірності станів p_i (t), i = 1, ... n (невідомі ймовірні функції) є рішенням наступної системи диференціальних рівнянь:

Існують два правила складання даної системи диференціальних рівнянь, що називається системою диференціальних рівнянь Колмогорова:

1) за розміченим графом станів;

2) по матриці щільності ймовірностей переходів.

Завдання вирішень цієї системи називається завданням Коші.

Таким чином, аналіз трансформаційної економіки з точки зору марковських процесів в рамках еволюційного підходу дозволяє вивчити можливість переходу на більш якісний рівень розвитку економіки.