Материальный баланс

Х/t`=X_вх–X+ f(X) (10.4)

Энергетический баланс

/t`=_вх–+_ад f(X)–(–_х) (10.5)

Уравнение кинетики

= f(X), (10.6)

где =C_a/(C_p) – отношение усредненной теплоемкости аппарата к теплоемкости реакционной смеси ("безразмерная теплоемкость");

T_ад=(–Н)C₀/(C_p) – адиабатический разогрев, т.е. величина характеризующая на сколько градусов разогреется реакционная смесь при полной степени превращения;

_ад=T_ад/(bT₀) – адиабатический разогрев в безразмерной форме;

=F/(QC_p) – безразмерный параметр теплоотвода;

b=RT₀/E — критерий Аррениуса;

– безразмерная константа скорости реакции при опорной температуре;

К – константа скорости реакции при опорной температуре, 1/с;

X – степень превращения;

T₀ – опорная температура, K;

 – время пребывания (контакта);

C₀ – концентрация на входе;

n – порядок реакции.

Подсчитаем количество параметров в безразмерной модели:

а) выходные параметры:

• технологические – ,X;

• время – t'.

б) входные параметры:

• технологические Х_вх , _вх , _х.

в) теплофизические – ,.

г) параметры, характеризующие реакцию – , b, _ад .

В безразмерной модели 8 параметров. Таким образом, число параметров за счет исчезновения конструктивных сократилось. Это является важным достоинством безразмерной модели РИС.

2.2. Построение Q-T–диаграммы и исследование устойчивости стационарных режимов РИС

Вначале рассмотрим зависимость скорости реакции, протекающей в РИС на примере необратимой единственной реакции 1-го порядка.

Скорость реакции в размерном виде выражается следующей зависимостью:

W=KC=K₀exp(–E/(RT))C. (10.7)

Значение концентрации C в реакторе зависит от величины концентрации на входе C₀ и температуры в реакторе T. Из уравнения материального баланса для стационарного режима следует, что:

C=C₀/(1+K)=C₀/(1+K₀exp(–E/(RT))), (10.8)

где = V/Q – время контакта, с.

Подставив (10.8) в (10.7), окончательно получим:

W= K₀exp(–E/(RT)) C₀/(1+K₀exp(–E/(RT))). (10.9)

График зависимости скорости реакции от температуры (10.6) представлен на рисунке 10.1.

Рис. 10.1

При малых значениях температуры Т второе слагаемое в знаменателе пренебрежимо мало по сравнению с единицей.

Тогда:

W= K₀exp(–E/(RT)) C₀. (10.10)

В этой области с повышением температуры скорость реакции растет по закону Аррениуса (нижняя ветвь графика). При больших температурах, наоборот, второе слагаемое в знаменателе формулы (10.9) становится много больше единицы.

Тогда:

W= C₀/. (10.11)

Физический смысл зависимости (10.11) достаточно ясен. При высоких температурах реакция протекает настолько быстро, что реагирует практически все вещество, поступающее в аппарат. В этом режиме скорость реакции W практически не зависит от температуры (верхняя ветвь графика).

Аналогичный вид имеет эта зависимость и в безразмерной форме.

Для построения Q-T–диаграммы рассмотрим уравнение энергетического баланса в безразмерной форме (10.5). В стационарном режиме накопление тепла равно нулю. Запишем уравнение энергетического баланса в следующем виде:

/t`=q_P–q_T,

_ад f(X)=–_вх++(–_х), (10.12)

где q_Р – выделение тепла, т.е. количество тепла, выделяемого при протекании химической реакции в единицу времени,

q_T – отвод тепла, т.е. количество тепла, отводимого в единицу времени через стенку холодильника и с потоком.

В стационарном режиме выделение и отвод тепла равны между собой: q_Р=q_T.

Преобразуем выражение для расчета величины теплоотвода q_T :

q_T=–_вх++(–_х)=–(_вх+_х)+(1+)

Окончательно:

q_T=–а+(1+), (10.13)

где а=(_вх+_х).

Выражение для расчета величины тепловыделения q_Р:

q_Р=_ад f(X) = _ад (1–X) = _ад / (1+ ). (10.14)

Характер зависимостей (10.13) и (10.14) от температуры следующий. Выражение (10.13) представляет собой уравнение прямой линии, причем q_T растет с увеличением . В выражении (10.14) _ад – коэффициент, не зависящий от температуры, так что зависимость q_Р от  имеет такой же вид, как функция W=f(T) (уравнение 10.9), отличаясь лишь масштабом (см. рис. 10.2).

Рис. 10.2

Линии зависимостей q_Р и q_T от температуры пересекаются в трех точках 1, 2 и 3. В этих точках при температурах ₁ , ₂ , ₃ процесс стационарен, т.к. соблюдается условие стационарности q_Р=q_T или d/dt'=0.

Как видно из рисунка 10.2 в данной ситуации при одних и тех же значениях входных параметров возможны три различных стационарных режима, не только обеспечивающие различные значения выходных параметров, но и отличающиеся по устойчивости.

Рассмотрим вначале стационарный режим 3, который соответствует режиму работы при температуре ₃.

Т.к. скорости выделения и отвода тепла равны, то пока температура  не изменится, режим остается стационарным. Допустим, что в результате случайного возмущения изменяется значение ₃ и произойдет смещение на величину . При этом за счет ускорения скорости реакции возрастает скорость выделения тепла. Этот рост происходит по линии, соответствующей кривой тепловыделения. Одновременно, за счет увеличения разности температур между температурами в реакторе и теплоносителя возрастает скорость отвода тепла. Этот рост происходит по линии теплоотвода.

В точке 3 линия теплоотвода проходит с большим углом наклона, чем линия тепловыделения. Поэтому при температуре ₃+ скорость отвода тепла оказывается выше, чем скорость его выделения. В этих условиях, после снятия возмущения  реактор начнет охлаждаться. Охлаждение будет продолжаться до тех пор, пока температура в реакторе не станет равной ₃. При этой температуре скорости отвода и выделения тепла опять уравняются, и режим снова станет стационарным. Наоборот, если в результате возмущения (=₃–) реактор начнет охлаждаться, то после снятия возмущения реактор снова начнет нагреваться до достижения в нем температуры равной ₃, т.к. скорость выделения тепла при этих условиях превышает скорость теплоотвода.

Таким образом, стационарный режим в точке 3 возвращается к исходному состоянию после снятия внешних возмущений, т.е. режим устойчивый.

Способность системы (реактора) возвращаться к исходному стационарному состоянию после снятия возмущений называется устойчивостью. Иначе говоря, исходный стационарный режим устойчив, если после устранения источников нарушения режима любые малые отклонения с течением времени стремятся к нулю. Если же значения отклонений нарастают во времени, то исходный стационарный режим неустойчив.

При температуре ₁, соответствующей стационарному режиму 1, с точки зрения устойчивости картина полностью аналогична рассмотренному выше режиму в точке 3, т.к. и в этом случае линия теплоотвода идет круче, чем линия тепловыделения и исходный стационарный режим устойчив.

Теперь рассмотрим режим в точке 2. Здесь наклон линии теплоотвода меньше, чем линии тепловыделения. Но так же, как и в точках 1 и 3, q_Р=q_T, и если нет возмущений, режим будет стационарным. Пусть произошло случайное возмущение, и температура ₂ повысилась на величину . При температуре =₂+ скорость выделения тепла становится больше, чем скорость теплоотвода. И поэтому после снятия возмущения реактор будет не охлаждаться, а нагреваться, удаляясь от исходного состояния. Нагревание будет продолжаться до тех пор, пока снова скорость тепловыделения не станет равной скорости теплоотвода, т.е. реактор достигнет нового стационарного состояния при температуре ₃. Аналогично, при отрицательных возмущениях реактор будет самопроизвольно охлаждаться до тех пор, пока не достигнет устойчивого стационарного состояния при температуре ₁.

Проведенный анализ показал, что из трех возможных в данных условиях стационарных режимов только два: 1 – при низкой температуре (и, соответственно, малой скорости реакции) и 3 – при высокой температуре (и большой скорости реакции) являются устойчивыми, а третий – при промежуточных значениях температуры и скорости реакции (точка 2) – неустойчив.

Используя формулы (10.13) и (10.14) необходимо рассчитать значения q_Р и q_Т для различных .

2.3. Влияние входных параметров на стационарные режимы. Построение статических характеристик РИС

Рассмотрим влияние изменения основных параметров на входе в РИС на стационарные режимы. Скорость теплоотвода является функцией следующих параметров:

q_T = f (θ_вх, θ_х, γ). (10.15)

Поскольку уравнение зависимости скорости теплоотвода от параметров (10.13) представляет собой уравнение прямой линии, то при изменении параметров, входящих в коэффициент a (θ_вх и θ_х) линия теплоотвода будет перемещаться параллельно самой себе.

Рассмотрим влияние температуры входа на стационарные режимы. При увеличении θ_вх линия теплоотвода будет смещаться вправо. При этом условия существования стационарных режимов будут другими. На рис. 10.3 показаны линии теплоотвода, построенные при разных значениях θ.

Рис. 10.3

Стационарные режимы, полученные при базовом значении θ_вх, обозначены цифрами 1, 2, 3. При увеличении θ_вх линия теплоотвода смещается вправо. При этом число стационарных режимов остается прежним (обозначены 4, 5, 6). При дальнейшем увеличении θ_вх число стационарных режимов может измениться. Для некоторого значения θ_вх получаем только два стационарных режима – точки 7 и 8, причем стационарный режим в точке 7 неустойчив. При еще больших значениях θ_вх линия теплоотвода лежит ниже линии тепловыделения практически во всей области, за исключением высоких значений θ. В данном случае имеет место только один стационарный режим – точка 9. Аналогичная картина наблюдается и при уменьшении значения θ_вх.

Рассмотрим подробнее стационарные режимы в точках 7 и 14. Малейшее изменение температуры θ приводит к тому, что реактор практически мгновенно переходит на высокотемпературный режим (из точки 7 в точку 8 на верхней ветви графика) или, наоборот, на низкотемпературный режим (из точки 14 в точку 13 на нижней ветви).

Анализ работы реактора удобно проводить с использованием статических характеристик, которые показывают изменение выходных величин (в данном случае – θ) в стационарном режиме при изменении параметров на входе.

Количественной мерой изменения выходных величин при изменении входных параметров служит параметрическая чувствительность – предел отношения изменения выходной величины к соответствующему изменению входной:

P = , (10.16)

где A – входной параметр. Выражение (10.16) есть ничто иное, как:

P = dθ/da (10.17)

На практике обычно используют следующее приближенное выражение:

P  Δθ/ΔA (10.18)

Статическая характеристика при изменении θ_вх приведена на рис. 10.4. Для построения статической характеристики используются только точки стационарных режимов, полученных при построении Q-T–диаграммы при изменении температуры входа. Для каждого значения температуры входа выбираются точки, соответствующие стационарным режимам и переносятся на график статической характеристики.

Рис. 10.4

Обозначим m – основной рабочий режим. Рассмотрим интервал θ_вх^н– θ_вх^в. В этом диапазоне температур возможно сущест-вование трех режимов. В случае, когда θ_вх<θ_вх^н либо θ_вх> θ_вх^в в реакторе будет только один устойчивый режим (низко-, либо высоко-температурный). Из статичес-кой характеристики также видно, что вдали от точек 7 и 14 (называемых точками срыва) величина параметри-ческой чувствительности невелика. По мере приближения к этим точкам величина параметрической чувствительности резко возрастает, а затем происходит скачкообразный переход на другой режим – срыв. В точках срыва величина P бесконечно велика.

В ходе нормальной эксплуатации реактора всегда имеют место небольшие колебания входных параметров. В связи с этим возникает задача определения запаса устойчивости – совокупности допустимых отклонений параметров процесса. Практически запас устойчивости представляет собой интервал от заданного режима до границы устойчивых стационарных состояний. Так, например, для режима m запас устойчивости по температуре входа составляет: θ_вх = θ_вх⁷ – θ_вх^m.

Для обеспечения устойчивой и безопасной работы реактора необходимо выполнение следующего ограничения

θ_вх > δθ_вх,

где δθ_вх – возможный интервал изменения θ_вх в процессе эксплуатации.

Рассмотрим влияние параметра γ на стационарные режимы в РИС.

Из уравнения (10.13) следует, что параметр γ определяет наклон линии теплоотвода. С увеличением величины γ угол наклона будет возрастать, а линия теплоотвода будет поворачиваться вокруг некоторой точки (рис. 10.5).

Рис. 10.5

Определим координаты этой точки. Для этого рассмотрим два случая: γ₁=0 и γ₂=1. В этом случае, величина теплоотвода будет равна: q_T1 =θ–θ_вх и q_T1=2θ – θ_вх – θ_х.

Поскольку эта точка – "центр вращения" – является общей для обоих случаев, то в ней:

q_T1 = q_T2

Тогда:

θ – θ_вх=2θ – θ_вх – θ_х.

Отсюда: θ = θ_х – абсцисса центра вращения.

Ордината данной точки

q_T1 = θ_х – θ_вх.

Статическая характеристика РИС по каналу θ–γ приведена на рис. 10.6.

Рис. 10.6

При малых значениях γ существует единственный высокотемпературный режим – область А. По мере увеличения γ наблюдается переход в область существования трех режимов – область В. При больших значениях γ будет существовать единственный низкотемпературный режим – область С. При определенных значениях параметра γ возможны "срывы" с высоко-температурного режима на низкотемпературный – точка 7 и наоборот – точка 4.

Сравнив статические характеристики θ = f(θ _вх) и θ = f(γ) можно заметить, что они являются зеркальным отражением друг друга.

Рассмотрим влияние величины адиабатического разогрева _ад на характер стационарных режимов в РИС. Величина адиабатического разогрева

_ад=T_ад/(bT₀) = (–Н) C₀/(C_pbT₀)

для одной и той же реакции является функцией только концентрации на входе в реактор – С₀ .

При изменении Δθ_ад меняется положение линии тепловыделения – q_P (рис. 10.7). С уменьшением величины адиабатического разогрева график зависимости q_Р=f(θ) уменьшается по высоте и смещается вправо. В точке 5 происходит срыв на низкотемпературный режим. При увеличении Δθ_ад картина меняется. График зависимости смещается влево, увеличиваясь по высоте, и в точке 7 переходит скачкообразный переход на высокотемпературный режим.

Статическая характеристика по каналу θ–Δθ_ад (рис. 10.8) имеет такой же вид, как и статическая характеристика по каналу θ – θ _вх. Аналогичным образом строятся статические характеристики при варьировании других параметров.

Необходимо отметить следующее. Выше были рассмотрены случаи, когда возможно существование в реакторе нескольких стационарных режимов. В том случае, если существует единственный стационарный режим, то вид статических характеристик изменяется.

Построение статических характеристик проводится следующим образом. Выбирается исходный стационарный режим. Затем при варьировании одного из входных параметров определяются новые стационарные режимы. Статические характеристики строятся, как правило, в координатах Δθ_вых = f(Δa_вх), где a_вх – параметр на входе.

Рис. 10.7

Рис. 10.8

В качестве примера на рисунке 10.9 приведена статическая характеристика по каналу: Δθ = f(Δθ_вх).

Исследование статических характеристик в любом реакторе необходимо: во-первых, для предсказания поведения объекта при изменении условий на входе, во-вторых, для выбора канала управления, т.е. такого параметра, которым можно варьировать, чтобы осуществлять процесс в заданных условиях при возможных флуктуациях входных параметров.

При выборе канала управления необходимо, чтобы:

1. Изменение параметра на входе оказывало заметное влияние на выходные параметры.

2. Выбранный канал управления должен быть наименее инерционным, т.е. время, в течение которого параметр на выходе отреагирует на изменение входного параметра, должно быть минимально возможным.

Рис. 10.9

Для построения статистических характеристик следует провести необходимые расчеты и построить:

• линии тепловыделения (или теплоотвода) при варьировании исследуемого параметра на Q-T–диаграмме;

• для получения стационарных режимов построить статистическую характеристику по данному параметру в координатах θ–а (а – исследуемый параметр).

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. По исходным данным определить следующие безразмерные параметры b, , γ, θ_вх, θ_х, Δθ_ад.

2. Используя прикладную программу QT.EXE, рассчитать данные, необходимые для построения графиков:

• диаграммы тепловыделение–теплоотвод для базового режима;

• диаграммы тепловыделение–теплоотвод при варьировании температуры входа, параметра теплоотвода и адиабатического разогрева.

3. Построить статические характеристики по каналам:

• температура в реакторе – температура входа;

• температура в реакторе – параметр теплоотвода;

• температура в реакторе – адиабатический разогрев.

4. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Исходные данные, необходимые для расчетов, приведены в табл. 10.2. Номер варианта соответствует порядковому номеру фамилии студента по журналу.

Размерность величин:

С₀ – моль/м³; (–ΔH) – кДж/моль; Е – кДж/моль; К₃₂₃ – 1/с; F – м²;

α – Вт/(м² К); Т_вх – К; Т_х – К; Q – м³/с.

Общие данные для всех вариантов:

V_p = 5 м³; T_oп = 273 K; C_p = 5000 Дж/(кг К); ρ = 1,676 кг/м³.

5. ОФОРМЛЕНИЕ ПРОТОКОЛА

В протоколе по лабораторной работе формулируется цель работы, приводятся полученные безразмерные параметры, диаграмма тепловыделение –теплоотвод для базового варианта и при варьировании входных параметров, статические характеристики по исследованным каналам управления.

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Характер зависимости скорости реакции от температуры на примере реакции первого порядка.

2. Модель реактора идеального смешения и ее основные особенности.

3. Уравнение энергетического баланса РИС в безразмерной форме.

4. Построение диаграммы тепловыделение – теплоотвод, условия существования стационарного режима.

5. Устойчивость, основные понятия. Условие устойчивости, границы и запас устойчивости.

6. Определение числа и характера стационарных режимов (на основании диаграммы тепловыделение – теплоотвод).

7. Статические характеристики, их применение, метод построения. Параметрическая чувствительность.

8. Доказать, что при изменении температуры входа и прочих неименных параметрах линии теплоотвода параллельны друг другу.

9. Определить координаты «центра вращения при изменении параметра теплоотвода».