1.1. Внутренние усилия в поперечных сечениях стержня

Рассмотрим тело, находящееся в состоянии статического равновесия под действием приложенных внешних нагрузок F_i , в том числе и реакций опор (рис. 1, а).

Рис. 1. Определение внутренних усилий методом сечений:

а – рассечение тела плоскостью α; б – шесть внутренних сил в сечении α

Понятие внутренних сил неразрывно связано с методом сечений для их выявления. Рассечем мысленно наше тело плоскостью α и отбросим одну из частей. Внутренние силы – это силы, заменяющие действие отброшенной части. Это определение требует уточнения. Для того, чтобы все точки тела после его рассечения плоскостью α остались на месте, к каждой элементарной единичной площадке сечения нужно приложить какую-то силу, заменяющую действие отброшенных межмолекулярных связей. Эта сила – напряжение в данной точке на данной площадке. Задача отыскания распределения напряжений по сечению – сложная задача и в сопротивлении материалов решается отдельно для каждого вида деформации. Однако суммарные по сечению характеристики этих сил легко найти из условий статического равновесия отсеченной части.

Введем ортогональную систему координат с центром в центре тяжести сечения. Ось х перпендикулярна к плоскости α, оси у и z – в плоскости α. Шесть независимых уравнений статического равновесия позволяют найти шесть внутренних сил, относящихся к заданному сечению α (рис.1, б) – три компоненты вектора внутренней силы

(N, Q_y, Q_z) и три компоненты внутреннего момента (M_x, M_y, M_z). Сила и момент – это, по существу, суммы всех напряжений в плоскости α и их моментов относительно центра тяжести сечения.

Эти шесть величин мы и будем называть внутренними силами в сечении α. N – проекция силы на ось x – внутренняя продольная сила, Q_y, и Q_z – внутренние поперечные силы, M_x = M_к – проекция момента на ось х – внутренний крутящий момент, M_y и M_z– внутренние изгибающие моменты.

1.2. Понятие о напряжении

Пусть – внутренняя сила на площадке ΔА (ΔА – это и название площадки, и ее площадь) в плоскости α (рис.2, а). К – внутренняя точка площадки ΔА, тогда

,

где – трехмерный вектор напряжения в точке К на площадке α.

Рис. 2. Нормальное и касательное напряжения в точке:

а – внутренняя сила на площадке ΔА; б – полное напряжение ,

нормальное – σ и касательное – τ

Вектор можно разложить на нормальную к сечению и тангенциальную составляющие (рис.2, б): , где σ – нормальное напряжение, а τ – касательное напряжение в рассматриваемой точке сечения α. В свою очередь, вектор может быть разложен на две составляющие. Размерность напряжения P_K,α = сила/площадь. В системе единиц СИ H/м² = Па (паскаль).