Лабораторная работа № 2 Изучение законов вращательного движения твердого тела на маятнике Обербека

Принадлежности: маятник Обербека, грузы, штангенциркуль, миллиметровая линейка, секундомер.

Краткая теория. Под твердым телом в механике понимается такое тело, взаимное расположение частей которого остается неизменным во время движения. При движении такое тело выступает как единое целое. Произвольное плоское движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений: поступательного и вращательного. При поступательном движении за один и тот же промежуток времени все точки тела получают равные по величине и направлению перемещения, вследствие чего скорости и ускорения этих точек в каждый момент времени оказываются одинаковыми. При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых находятся на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Для описания вращательного движения необходимо задать положение оси вращения и угловую скорость тела в каждый момент времени.

Круговое движение материальной точки. Пусть материальная точка массой вращается вокруг неподвижной оси , проходящей через точку (рис. 1). Для описания вращательного движения введем понятия моментов. Их три: момент инерции, момент импульса и момент силы.

Момент инерции равен произведению массы материальной точки на квадрат расстояния между точкой и остью вращения .

Под действием приложенной силы точка движется с некоторой линейной скоростью и обладает при этом импульсом . Направление вектора импульса совпадает с направлением вектора скорости.

Рис. 1

Рис. 2

Момент импульса равен векторному произведению радиус-вектора на вектор :

.

Момент силы определяется как векторное произведение:

.

Величина радиус-вектора равна расстоянию от оси вращения до материальной точки (до точки приложения силы).

Из определения моментов видно, что – скалярная величина, а и – векторы (псевдовекторы), направление которых определяется по правилу векторного произведения.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек с неизменными расстояниями между ними. Моментом инерции тела относительно оси вращения называется величина , равная сумме произведений элементов масс на квадрат их расстояния до оси:

.

Момент импульса твердого тела относительно точки , находящейся на оси вращения, определяется как сумма моментов импульса отдельно взятых частиц:

.

Момент силы, действующей на твердое тело, есть сумма моментов сил, действующих на отдельные частицы:

.

Здесь – радиус-вектор -ой частицы.

Для всякой системы частиц справедливо уравнение:

.

(1)

Уравнение (1) носит название основного закона динамики вращательного движения твердого тела. Оно выражает второй закон Ньютона для вращательного движения и аналогично уравнению для поступательного движения тела. Роль силы при вращательном движении играет момент силы, роль массы – момент инерции тела, роль импульса – момент импульса.

Учитывая, что момент импульса относительно произвольной оси вращения в проекции на ось равен

,

(2)

основной закон можно записать в виде:

(3)

где – проекция углового ускорения на ось , – геометрическая сумма моментов сил, приложенных к телу, также в проекции на ось вращения.

Описание прибора. Маятник Обербека представляет собой маховик крестообразной формы (рис. 2). На четырех взаимно перпендикулярных стержнях укреплены грузы одинаковой массы , которые могут перемещаться вдоль стержней и закрепляться в нужном положении. На общей оси с маховиком находится шкив радиуса . На шкив наматывается нить с прикрепляемым к концу грузом массы . Последний, опускаясь, приводит маховик в равноускоренное вращательное движение. Таким образом, к точке на поверхности шкива приложена касательная сила, направленная вниз и равная по величине силе натяжения нити; эта сила и создает вращающий момент (момент силы).

учитывая (3) и пренебрегая силами трения, можно записать уравнение вращательного движения маятника

,

(4)

уравнение поступательного движения груза на нити

(5)

и уравнение, связывающее линейное и угловое ускорения,

.

(6)

Здесь – радиус шкива, – сила натяжения нити, – ускорение движения груза на нити, – ускорение силы тяжести, – масса груза.

Из совместного решения уравнений (4–6) следует, что ускорение имеет постоянную величину:

.

(7)

С другой стороны, груз движется равноускоренно, начиная со скорости, равной нулю, и за время проходит расстояние , поэтому ускорение

.

1-й случай проверки: постоянный момент инерции, различные моменты сил.

Из уравнения (3) имеем:

.

(8)

Уравнения (4–8) дают:

,

и окончательно имеем:

.

(9)

В уравнение (9) входят величины, которые можно определить экспериментально.

2-й случай проверки: различные моменты инерции; постоянными величинами являются масса падающего разновеса и радиус шкива.

По теореме о параллельном переносе осей моментов инерции (теорема Штейнера) имеем:

(10)

где – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, – момент инерции того же тела относительно оси, удаленной на расстояние от прежней и расположенной параллельно ей.

Пусть – суммарный момент инерции четырех грузов (масса каждого из них равна ) в случае расположения их центров масс на оси вращения. Если центры масс находятся на расстоянии от оси вращения, то момент инерции системы из четырех тел равен

.

Если – момент инерции маятника без грузов, то полный момент инерции маятника с грузами, расположенными на расстоянии от оси вращения, будет равен:

.

При расположении грузов на расстоянии соответственно имеем:

.

Разность моментов инерции, если не равно , будет равна:

.

(11)

Решение уравнений (4) и (11) дает:

.

(12)

Решая совместно уравнения (4–7) и (12), получим окончательное равенство для проверки второго случая:

.

(13)

Уравнения (9) и (13) используются для проверки законов вращательного движения твердого тела в двух различных случаях: во-первых, когда изменяется момент силы при постоянном моменте инерции, во-вторых, когда изменяется момент инерции при неизменной массе тела, подвешенного на нити. Оба уравнения получены без учета трения в оси маятника и трения о воздух.

Порядок выполнения работы

1-й случай проверки (постоянный момент инерции)

1. Измерить высоту, на которую опустится укрепленный на нити груз массы .

2. Установить и закрепить грузы на одинаковом расстоянии от оси вращения, например, минимальном. Масса грузов указана на маятнике.

3. Затем одновременно отпустить маятник и пустить секундомер, записать время падения груза массой г. Измерения провести 5–7 раз, определить среднее значение времени .

4. Точно так же определить время падения груза массой г (т.е. при другом значении момента силы).

5. По результатам измерений проверить уравнение (9), и, следовательно, уравнение (3).

6. Результат записать в виде равенства. Объяснить причину заметного различия, если оно имеется.

2-й случай проверки (постоянная масса разновеса)

1. Сохраняя грузы в прежнем положении, измерить расстояние от оси вращения до центров грузов.

2. При помощи штангенциркуля измерить радиус шкива, на который наматывается нить.

3. Выбрать груз г (или 300 г), время падения которого для расстояния определено. Это будет время .

4. Перемещая грузы на расстояние (измерить его) от оси вращения, изменить момент инерции маятника.

5. Измерить время опускания выбранного груза (не менее 5–7 раз) и определить среднее значение времени .

6. Проверить соотношение (13) и записать ответ.

Контрольные вопросы

1. Что называется моментом инерции материальной точки и моментом инерции твердого тела относительно некоторой оси?

2. Определение момента силы. При каких условиях сила не создает вращающего момента?

3. Что такое импульс и момент импульса?

4. Как определить направление векторов момента силы и момента импульса?

5. Различаются ли кинетическая энергия вращающегося вокруг неподвижной оси тела и кинетическая энергия тела, которое катится (в качестве примера можно использовать колесо)?

6. Доказать теорему Штейнера. В чем суть теоремы?

7. Записать основной закон динамики для поступательного и вращательного движений твердого тела.

8. Маятник Обербека раскручивается падающим грузом . При каком положении грузов (см. рис.2) катушка будет раскручиваться с наибольшим ускорением?

9. С какими способами проверки основного закона динамики вращательного движения знакомит данная работа?

10. Вывести уравнения для обоих случаев проверки законов вращательного движения твердого тела.

Список рекомендуемой литературы

1. Савельев И.В. Курс общей физики. М., 1977. т. 1. гл. 5.

2. Ландау Л.Д., Ахиезер А.И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика. М., 1965. Гл. 3.

3. Рымкевич П.А. Курс физики. М., 1975. гл. 3.