Лабораторная работа № 1 Определение коэффициента внутреннего трения жидкости по методу Стокса

Принадлежности: стеклянный цилиндр с жидкостью (глицерин), свинцовые шарики, микрометр, секундомер, линейка.

Краткая теория. При движении жидкости между ее слоями возникают силы внутреннего трения, действующие таким образом, чтобы уравнять скорости всех слоев. Природа этих сил заключается в том, что движущиеся с разными скоростями слои обмениваются молекулами. Молекулы из более быстрого слоя передают более медленному слою некоторое количество движения (импульс), вследствие чего последний начинает двигаться быстрее, а слой, передавший часть своего импульса, замедляет движение.

Свойство жидкости оказывать сопротивление смещению частиц жидкости под действием какой-либо силы называют внутренним трением или вязкостью. Возникновение сопротивления, обусловленного вязкостью жидкости, можно рассмотреть на таком примере.

Пусть имеются две плоскопараллельные пластины, разделенные слоем жидкости (рис. 1). Нижняя пластина неподвижна, в верхняя пластина перемещается относительно нижней слева направо. Мысленно разобьем жидкость на тончайшие слои. Молекулы жидкости, ближайшие к верхней пластине, прилипают к ней и в силу этого начинают перемещаться вместе с пластиной с той же скоростью. Эти молекулы в свою очередь увлекают молекулы следующего слоя, и т.д. Слои, скользя друг по другу, перемещаются со скоростью тем меньшей, чем больше их расстояние от движущейся пластины. Слой, непосредственно прилегающий к нижней пластине, останется в покое.

Вязкость жидкости проявляется в возникновении силы, препятствующей относительному сдвигу соприкасающихся слоев жидкости. Величина обусловленного вязкостью сопротивления зависит от разности скоростей и от расстояния между слоями. Чем сильнее меняется скорость жидкости при переходе от слоя к слою, тем больше величина вязкого сопротивления. Это изменение характеризуется градиентом скорости.

Рис. 1

Для прямолинейного ламинарного движения жидкости градиент модуля скорости равен пределу отношения разности скоростей двух ближних слоев к кратчайшему расстоянию между ними (рис. 1):

.

Градиент скорости будет равен единице в том случае, если при расстоянии между слоями жидкости, равном 1 м, разность скоростей течения составляет 1 м/с. Следовательно, размерность градиента скорости равна с^–1.

Градиенты разных физических величин встречаются довольно часто. В учении об электричестве приходится иметь дело с градиентом потенциала, выражающим быстроту изменения потенциала вдоль проводника или с координатой поля; он измеряется отношением разности потенциалов двух точек к расстоянию между ними. Можно говорить о градиенте температуры и концентрации, которые характеризуют соответственно быстроту изменения температуры или концентрации с координатой. При этом вектор градиента той или иной функции всегда направлен в сторону возрастания функции по кратчайшему расстоянию между двумя её значениями.

Ньютон установил, что при ламинарном течении (т.е. слоистом, без завихрений) сила вязкости выражается формулой

.

(1)

Здесь – площадь соприкосновения слоев, – градиент скорости. Коэффициент (читается "эта") зависит от рода жидкости, ее температуры и давления; он носит название коэффициента внутреннего трения или динамической вязкости.

Пользуясь формулой Ньютона, можно дать определение коэффициента внутреннего трения:

.

(2)

Таким образом, коэффициент внутреннего трения численно равен силе внутреннего трения, возникающей на каждой единице поверхности соприкосновения двух слоев, движущихся один относительно другого с градиентом скорости, равным единице.

Единицей измерения коэффициента динамической вязкости в системе СИ является ньютон-секунда на метр в квадрате (Н·с/м²). Это вязкость такой жидкости, у которой при площади соприкосновения слоев в 1 м² и градиенте скорости 1 с^–1 возникает сила вязкости, равная 1 Н.

Явление вязкого трения имеет большое практическое значение. Так, смазка маслами трущихся поверхностей в машинах позволяет заменить сухое трение значительно меньшим вязким. Приборы, служащие для измерения вязкости, называются вискозиметрами. Силы вязкости возникают и при движении газов, для них также справедлива формула (1).

Вязкость жидкости зависит от температуры, резко уменьшаясь с ее повышением. Особенно сильно зависит от температуры вязкость масел. Например, вязкость касторового масла при изменении температуры от 18 до 40°С уменьшается почти в четыре раза.

В

Рис. 2

работе динамическая вязкость определяется по методу Стокса, в качестве жидкости используется глицерин, вязкость которого тоже сильно меняется с температурой.

Стокс установил, что шарик малых размеров, перемещаясь в жидкости, испытывает действие силы вязкого трения

,

где – радиус шарика, – скорость падения шарика, – коэффициент вязкости.

На свободно падающий в жидкости шарик действуют три силы (рис. 2): сила тяжести , выталкивающая сила (сила Архимеда) и сила вязкого сопротивления (сила Стокса). По величине эти силы равны:

.

Здесь и – массы шарика и жидкости, вытесненной шариком, и – их плотности, – ускорение свободного падения.

Запишем основной закон динамики ( закон Ньютона):

.

(3)

Спроектируем уравнение (3) на вертикальную ось, вдоль которой падает шарик, и подставим значения сил:

.

(4)

Решением уравнения (4) является выражение (начальная скорость равна нулю)

.

Движение падающего в вязкой жидкости шарика лишь в первое время будет ускоренным. С увеличением скорости возрастает сила вязкого сопротивления, уменьшается ускорение и с некоторого момента движение можно считать равномерным. При этом ускорение обратится в нуль, и из уравнения (4) получается равенство:

или

.

Откуда

.

(5)

Движение шарика предполагается равномерным в средней части сосуда (между кольцевыми метками, отстоящими друг от друга на расстоянии ). Скорость определяется по времени движения шарика между метками .

Описание прибора. Прибор представляет собой высокий стеклянный цилиндрический сосуд, наполненный глицерином (рис. 2). Верхняя кольцевая метка соответствует положению, начиная с которого движение шарика можно считать равномерным (в работе используются свинцовые шарики).

Порядок выполнения работы

Задание 1. Для пяти свинцовых шариков провести следующие измерения и вычисления.

7. С помощью микрометра измерить диаметр шарика (не менее 5 раз, записывая результаты измерений!), найти среднее значение его радиуса.

8. Измерить расстояние между верхней и нижней кольцевыми метками.

9. При помощи секундомера измерить время , за которое падающий шарик проходит расстояние .

10. Результаты измерений занести в таблицу.

11. По справочнику найти плотность жидкости и шариков. Для каждого шарика по его среднему радиусу и формуле (5) рассчитать коэффициент вязкости.

12. Вычислить среднее значение коэффициента вязкости, абсолютную погрешность отдельного измерения и среднее значение абсолютной погрешности.

13. Вычислить относительную погрешность опыта.

14. Конечный результат представить в виде:

(единицы измерения); %.

Задание 2. Вычислить значение скорости шарика через 1 с после начала движения. Построить график .

Контрольные вопросы

1. Какова причина возникновения сил внутреннего трения?

2. Что называется коэффициентом внутреннего трения? Единицы его измерения.

3. Под действием каких сил движение шарика становится равномерным?

4. Основной закон динамики (в векторной форме и в проекции на выбранную ось) в применении к данной задаче.

5. Получить из уравнения движения шарика выражение для коэффициента вязкости.

6. Почему в данной работе нельзя измерять время падения шарика с момента касания им жидкости?

7. Понятие градиента, направление вектора. Примеры.

8. Объяснить линейную связь между силой трения и скоростью в формуле Стокса.

9. Как изменится скорость движения шарика, если увеличить его диаметр?

Список рекомендуемой литературы

1. Савельев И.В. Курс общей физики. М., 1977. 1982. т. 1. Гл. 9.

2. Ландау Л.Д., Ахиезер А.И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика. М., 1965. Гл. 15.

3. Рымкевич П.А. Курс физики. М., 1975. Гл. 4.