Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Методы аналитических вычислений

.pdf
Скачиваний:
15
Добавлен:
03.05.2015
Размер:
645.65 Кб
Скачать

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Тверской государственный университет

В. О. АШКЕНАЗЫ

СИСТЕМА АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

MAPLE V

(Вводный курс)

Учебное пособие

Тверь 2000

УДК 681.3.06

Ашкеназы В.О. Система аналитических вычислений Maple V (Вводный курс): Учебное пособие. - Тверь: Тверской гос. ун-т, 1999. - 34 с. – ил.

В учебном пособии излагаются начальные сведения о компьютерной системе аналитических вычислений Maple V Release 5 (версия 5) – мощном современном инструменте для решения математических проблем. Пособие предназначается для студентов и/или специалистов, применяющих математику в своей учебной и практической деятельности.

Библиогр.: 8 назв.

© Ашкеназы В.О., 1999

2

ВВЕДЕНИЕ

Современные компьютерные системы аналитических (символьных) вычислений основаны на программной реализации алгоритмов компьютерной алгебры, обеспечивающих точные аналитические (в отличие от приближенных численных) преобразования математических выражений: полиномов, рядов, рациональных функций, формул.

Такие аналитические алгоритмы обеспечивают упрощение алгебраических выражений, разложение полиномов на множители, аналитическое дифференцирование и интегрирование, суммирование, нахождение наибольшего общего делителя двух полиномов, явное решение алгебраических уравнений и неравенств, дифференциальных уравнений, а также соответствующих систем, и многое другое.

Система аналитических вычислений Maple V Release 5 (т.е. версия 5), разработанная фирмой Waterloo Maple Software (Канада), это универсальная система решения задач, которая поддерживает широкий круг мощных математических операций, таких как символьный анализ, численный анализ и графика.

Превосходные диалоговые возможности Maple обеспечиваются обширной библиотекой встроенных функций по общей математике, комбинаторике, дифференциальным формам, геометрии, теории групп, линейной алгебре, оптимизации, теории чисел, ортогональным многочленам, степенным рядам, статистике, двух- и трехмерной графике. В среде Maple имеются также широкие возможности программирования и отладки, неоценимые при решении более сложных задач. Язык программирования Maple использует синтаксис, близкий к общеизвестным Паскалю и Си.

Заметим, что "maple" в переводе с английского на русский язык это "клён", ведь кленовый лист является государственным символом Канады, где эта система аналитических вычислений была создана.

1. НАЧИНАЕМ ОСВАИВАТЬ MAPLE

Итак, Maple это компьютерная программа для тех, кто занимается математикой. Использование Maple для выполнения ваших вычислений сделает вашу работу более интересной, позволит лучше сосредоточиться на рассматриваемой проблеме, и поможет вам избежать нелепых вычислительных ошибок.

3

Это пособие предназначено для начинающих и из него вы узнаете, как учиться дальше. Предполагается, что вы будете пользоваться им, сидя за компьютером с Maple, работающим в среде Windows, вводя команды и обдумывая получаемые результаты.

Чтобы эффективно пользоваться любым программным обеспечением, необходимы некоторые знания об операционной системе компьютера. В этом пособии предполагается, что вы уже знакомы с основами работы в Windows 95/98 с "мышью" – знаете, что такое "указать", "щелкнуть" и "перетащить".

Запустите Maple

 

 

 

 

Для запуска Maple щелкните на пиктограмме

на "рабочем столе" ОС

Windows вашего компьютера.

 

 

 

 

 

 

 

 

В раскрывшемся окне щелкните на

 

а затем на

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После появления временного титульного окна-заставки системы Maple V Release 5 раскроется основное окно системы с пустым рабочим полем (документом Maple), в котором вы можете начать печатать и вводить команды Maple после приглашения ">" вверху слева.

2. РАБОЧЕЕ ПОЛЕ MAPLE Среда рабочего поля

Рабочее поле обычно состоит из трех областей: область ввода, область текста и область вывода.

Область ввода , начинающаяся приглашением – символом ввода ">", содержит вычислительные команды Maple в командных строках, обычно представляемых красным шрифтом Arial, например:

> solve(2*x=4,x); # А это комментарий - нажмите [Enter]

Нажатие клавиши Enter, когда курсор находится на командной строке, инициализирует вычисления.

4

Область текста может содержать поясняющие сообщения и другую текстовую информацию (обычно представляемую черным шрифтом Times New Roman), которая может потребоваться для обеспечения наглядности документа Maple.

Область вывода содержит результаты выполнения команд Maple (обычно это синий шрифт) наподобие вывода по уже приведенной выше командной строке:

> solve(2*x=4,x);

2

При работе с Maple может осуществляться также графическая визуализация результатов вычислений.

Область графики: Отображение графиков в Maple V Release 5 производится в области вывода рабочего поля или , по желанию, в специальных графических окнах (см. Раздел 7).

Кроме того, для большего удобства в работе с документами Maple, могут создаваться гиперссылки (текстовая надпись зеленого цвета, подчеркнутая снизу), которые можно связать с файлом любого документа, с заданной страницей справочной системы, с "книжной" закладкой в документе.

Вот пример рабочего поля Maple, содержащего перечисленные объекты:

5

По желанию пользователя можно производить форматирование объектов ввода, вывода и текста, то есть придание им определенного стиля (например, цвета и размера, выбранного набора шрифтов, представления выходных и входных данных в виде естественных математических формул).

Области ввода, вывода и текста могут объединяться в ячейки – исполняемые группы (Execution Groups) и ячейки – абзацы для текста (Paragraphs), выделяемые квадратными скобками слева.

Онекоторых "горячих" клавишах:

-можно превратить ячейку ввода в текстовую ячейку, и наоборот (клавиша F5);

-можно разделить ячейку ввода или текста на две ячейки (клавиша F3) или объединить ячейки (клавиша F4);

-можно вставить новые ячейки ввода или текста между уже имеющимися (вставка исполняемой группы после курсора: Ctrl+J, до курсора: Ctrl+K; вставка текстового абзаца после курсора: Shift+Ctrl+J, до курсора: Shift+Ctrl+K);

-можно удалять ячейки ввода или текста по вашему желанию (Ctrl+Delete);

-можно копировать ячейки ввода или текста и вставлять их в другое место (Ctrl+C и Ctrl+V, соответственно).

Первые шаги

Компьютеры придирчивы к подробностям.

Стоит отметить некоторые особенности Maple:

*Имеет значение регистр клавиатуры: так, "pi" это просто имя переменной, но "Pi" это геометрическая константа π . Большинство команд Maple вводится строчными буквами.

*Каждая команда должна оканчиваться точкой с запятой (или двоеточием, если вы не хотите, чтобы результат ее выполнения отображался).

*Нажатие клавиши Enter запускает вычисления. Если вы хотите просто получить новую строку, нажмите Shift+Enter.

Далее приведены некоторые примеры команд Maple (после приглашения, ">", которое выводит на экран программа). Вводите указанные ниже команды, или придумайте другие аналогичные задачи (конкретные числа, которые вы будете использовать, обычно несущественны).

6

* Maple выполняет точные вычисления.

>1/2 + 1/3;

>1/sqrt(2);

>1/2 * Pi;

Заметим, что операция умножения должна быть явно обозначена, например,

> 3*5/2^99;

15/633825300114114700748351602688

Предупреждение:

При вводе команды без точки с запятой, вы получите новое приглашение, но без каких либо результатов. Вы должны просто набрать на этой новой строке ";" и нажать Enter.

>2^99

>;

Вы можете теперь вернуться назад и отредактировать ваши команды, повторно ввести, или удалить их, таким же образом как вы делали бы это в MS Word.

Упрощение арифметических выражений производится автоматически. Maple "знает" все о целых числах, дробях, вещественных и комплексных числах (по умолчанию, буква "I" означает "мнимый" квадратный корень из –1). Вот последовательность из трех комплексных чисел:

> sqrt(-1), (1+I)^2, (1+I)^2-sqrt(-4);

I, 2 I, 0

* Maple выполняет приближенные вычисления.

Если вы обозначите десятичную точку или явно велите вычислить значение выражения в виде числа "с плавающей запятой", то результатом будет десятичное число.

>1/2. + 1/3 ;

>evalf( 1/sqrt(2) );

7

> evalf(Pi,1000);

* Основной особенностью Maple являются символьные вычисления.

Maple знает, как обращаться с алгебраическими выражениями. Maple "знает" формулу для корней квадратного уравнения:

> solve(a*x^2 + b*x + c = 0, x);

и может выполнять алгебраические операции:

>(x*y - y^2)/(x - y);

>simplify(%);

Обратите внимание на использование символа % для ссылки на последний вычисленный результат. Вы можете также давать имена выражениям, для последующего обращения к ним. В следующем примере "p" делается сокращенным обозначением для выражения справа.

> p := x^2 - 8*x + 15;

":=" следует читать как "присвоить", а просто "=" используется для уравнений. Чтобы найти значение "x" такое что x2 – 8 x + 15 = 3, вы можете теперь воспользоваться "p" как сокращенным обозначением:

> solve(p = 3, x); factor(p - 3);

Обратите внимание на то, что вы можете вводить более чем одну команду одновременно.

8

Мы можем использовать Maple для решения системы уравнений. Фигурные скобки { } обозначают множества.

> solve( {2*x + 3*y = 22, x + 2*y = 13}, {x,y} );

Мы можем создать список решений и обращаться к любому из них. Квадратные скобки [ ] обозначают списки, а "операндами" являются номера позиций в этих списках.

>soln := solve(x^3 - x^2 + x - 1, x);

>soln[2];

>soln[2]^2;

Мы можем также использовать Maple для работы с задачами дифференциального и интегрального исчисления. Мы можем автоматизировать вычисление производных, критических точек, и многое другое.

> dpdx := diff(x^2 - 8*x + 15, x);

dpdx := 2 x - 8

> critical_point := solve(dpdx = 0, x);

Именовать получаемый результат не требуется, но часто это бывает очень полезным.

> int(x^2, x);

Обратите внимание на то, что в неопределенном интеграле не добавляется член с "постоянной интегрирования".

>int(x^2, x = 0 .. 2);

>int(sqrt(1 + cos(x)), x);

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ...

В любой версии Maple, работающей в среде Windows, вы можете редактировать и повторно вводить команду. Например, вы могли бы иметь

>x := 4:

>y := sqrt(x);

9

Если вы теперь отредактируете первую строку, то вы можете получить очень странный результат:

>x := 9:

>y := sqrt(x);

y := 2

Если две команды расположены далеко одна от другой, а ответы не очевидны, то это может превратиться в настоящую проблему. Следует помнить о двух вещах:

*Изменение x не изменяет ни y, ни результат выполнения любой другой команды.

*Вы не можете определить состояние вычисляющего устройства, просто глядя на рабочее поле экрана.

Если вы зададите x := 4, то вы не сможете выполнить solve(2*x = 4,x). Maple будет интерпретировать это как "реши уравнение: два умножить на четыре равно четырем, относительно четырех", что просто бессмысленно.

>x := 4;

>solve(2*x = 4, x);

Error, (in solve) a constant is invalid as a variable, 4

т.е. "Ошибка (в solve) -- константа не может использоваться в качестве переменной".

Для того, чтобы восстановить "не присвоенное" состояние переменной x, используйте одиночные кавычки, следующим образом:

>x := 'x';

>solve(2*x = 4);

Обычно можно избежать подобного присваивания, используя подстановку (substitution).

> subs(x = 2, x^2 + 1);

Полезно использовать команду

> restart:

Эта команда "перезапускает" систему Maple V, отменяя все ранее выполненные присваивания для переменных и процедур, и отключая все ранее подключенные библиотечные па-

кеты Maple.

Другой способ состоит в том, чтобы вместо алгебраических выражений использовать функции. Функции мы рассмотрим в этом пособии несколько позже.

10